Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 41/latex
\setcounter{section}{41}
Eine Bilinearform oder eine Sesquilinearform auf einem $n$-dimensionalen ${\mathbb K}$-Vektorraum $V$ wird bezüglich einer Basis durch ihre Gramsche Matrix beschrieben. Ebenso wird eine lineare Abbildung von $V$ nach $V$ durch eine Matrix beschrieben. Insgesamt liegt also eine Korrespondenz
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mathdisp {\operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) } \longleftrightarrow \operatorname{Mat}_{ n } (\R) \longleftrightarrow \operatorname{End}_{ \R } { \left( V \right) }} { }
vor. Auf der linken Seite sind Eigenschaften wie symmetrisch, hermitesch, positiv definit relevant, auf der rechten Seite Eigenwerte, Eigenräume, charakteristisches Polynom. Wie hängen diese zwei Begriffswelten zusammen? Mit solchen Fragen werden wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen. Dabei werden wir die Korrespondenz zwischen der linken und der rechten Seite nicht über die Fixierung einer Basis, sondern über die Fixierung eines Skalarproduktes erreichen.
\zwischenueberschrift{Adjungierter Endomorphismus}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Man nennt einen Endomorphismus
\maabbdisp {\psi} {V } {V
} {}
\definitionswort {adjungiert}{}
zu $\varphi$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \psi(w) \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{v,w \in V}{} gilt.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
$\varphi^{-1}$ der
\definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{.}
Es ist ja in diesem Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi^{-1} (\varphi(v)) , \varphi^{-1}(w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \varphi^{-1}(w) \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
\maabb {} {V} {V
} {}
auf einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
mit dem Streckungsfaktor
\mathl{s \in {\mathbb K}}{} ist die Streckung mit dem Streckungsfaktor $\overline{ s }$ die
\definitionsverweis {adjungierte Abbildung}{}{.}
Es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle sv , w \right\rangle
}
{ =} { s \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \overline{ \overline{ s } } \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \overline{ s } w \right\rangle
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}^n
} {}
besitze eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}} {} {}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{}
aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{,}
d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{ n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_{ n } \end{pmatrix}} { . }
Dann wird der
\definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{}
durch die komplex-konjugierte Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi
}
{ =} { \begin{pmatrix} \overline{ \lambda } _1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \overline{ \lambda } _2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \overline{ \lambda } _{ n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \overline{ \lambda } _{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Es ist ja einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi( u_i) , u_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \lambda_i u_i , u_j \right\rangle
}
{ =} {\lambda_i \left\langle u_i , u_j \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , \psi (u_j) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle u_i , \overline{ \lambda_j } u_j \right\rangle
}
{ =} { \lambda_j \left\langle u_i , u_j \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies beides gleich $0$ und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht beidseitig $\lambda_i$.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Existenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann existiert der
\definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{}
zu $\varphi$ und ist eindeutig bestimmt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
gegeben und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {V} { {\mathbb K}
} {v} { \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
} {,}
eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
auf $V$. Daher gibt es
\zusatzklammer {nach
Korollar 38.6
im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe
Aufgabe 41.14} {} {}
einen durch $\varphi$ und $w$ eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Rechtsgradienten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ \hat{ \varphi } (w)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , \hat{ \varphi } (w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung
\mathdisp {w \longmapsto \hat{ \varphi } (w)} { }
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , \hat{ \varphi } (w_1+w_2) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi(v) , w_1+w_2 \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi(v) , w_1 \right\rangle + \left\langle \varphi(v) , w_2 \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \hat{ \varphi } (w_1) \right\rangle + \left\langle v , \hat{ \varphi } (w_2) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \hat{ \varphi } (w_1) + \hat{ \varphi } (w_2) \right\rangle
}
}
{}
{}{.}
Da dies für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \varphi } (w_1+w_2)
}
{ =} { \hat{ \varphi } (w_1) + \hat{ \varphi } (w_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , \hat{ \varphi } (s w ) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi(v) , sw \right\rangle
}
{ =} { \overline{ s } \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
}
{ =} { \overline{ s } \left\langle v , \hat{ \varphi } (w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , s \hat{ \varphi } (w) \right\rangle
}
}
{}
{}{.}
Da dies für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \varphi } (s w)
}
{ =} { s \hat{ \varphi } (w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wie im Beweis dieses Satzes wird der adjungierte Endomorphismus mit
\mathl{\hat{ \varphi }}{} bezeichnet. Wenn man die Zuordnung, die einem Vektor
\mathl{w \in V}{} die Linearform
\mathl{v \mapsto \left\langle v , w \right\rangle}{} zuordnet, mit $\Theta$ bezeichnet, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \varphi }
}
{ =} { \Theta^{-1} \circ { \varphi }^{ * } \circ \Theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
die
\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{}
bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Matrix/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{,}
der bezüglich der
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} durch die Matrix $M$ beschrieben werde.}
\faktfolgerung {Dann wird der
\definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{}
\mathl{\hat{ \varphi }}{} bezüglich dieser Basis durch die Matrix
\mathl{{ \overline{ M } ^{ \text{tr} } }}{} beschrieben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} die Orthonormalbasis und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { (b_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Matrizen von $\varphi$ bzw. $\hat{ \varphi }$ bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (u_i)
}
{ =} { \sum_{ k = 1}^n a_{ki} u_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \varphi } (u_i)
}
{ =} { \sum_{ k = 1}^n b_{ki} u_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ a_{ji}
}
{ =} { \sum_{ k = 1}^n a_{k i} \left\langle u_k , u_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{ k = 1}^n a_{ki} u_k , u_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi (u_i) , u_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle u_i , \hat{ \varphi } (u_j) \right\rangle
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \left\langle u_i , \sum_{ k = 1}^n b_{kj} u_k \right\rangle
}
{ =} { \left\langle u_i , b_{ij} u_i \right\rangle
}
{ =} { \overline{ b_{ij} }
}
{ } {}
}
{}{.}
D.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \overline{ N } ^{ \text{tr} } }
}
{ =} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und umgekehrt.
{Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}}
\faktuebergang {Dann erfüllt der
\definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{}
folgende Eigenschaften
\zusatzklammer {dabei seien
\mathl{\varphi. \psi}{} Endomorphismen} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi + \psi \right) }^{\hat{} }
}
{ =} { \hat{ \varphi } + \hat{ \psi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( s \varphi \right) }^{\hat{} }
}
{ =} { \overline{ s } \hat{ \varphi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \hat{ \varphi } \right) }^{\hat{} }
}
{ =} { \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi \circ \psi \right) }^{\hat{} }
}
{ =} { \hat{ \psi } \circ \hat{ \varphi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 41.6. }
\zwischenueberschrift{Selbstadjungierte Endomorphismen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Dann heißt $\varphi$
\definitionswort {selbstadjungiert}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(u) , v \right\rangle
}
{ =} { \left\langle u , \varphi(v) \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Die Selbstadjungiertheit bedeutet also einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ =} { \hat{ \varphi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Streckung ist genau dann selbstadjungiert, wenn der Streckungsfaktor reell ist.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Charakterisierung mit Matrix/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{,}
wenn er bezü\-glich einer
\zusatzklammer {jeden} {} {}
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ durch eine
\definitionsverweis {hermitesche Matrix}{}{}
beschrieben wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $\varphi$ selbstadjungiert ist, so folgt die Aussage aus
Lemma 41.6.
Wenn umgekehrt $\varphi$ bezüglich einer Orthonormalbasis durch eine hermitesche Matrix $M$ beschrieben wird, so wird, wiederum nach
Lemma 41.6,
der adjungierte Endomorphismus $\hat{ \varphi }$ bezüglich der Basis durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \overline{ M } ^{ \text{tr} } }
}
{ =} {M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben, stimmt also mit $\varphi$ überein.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {selbstadjungierter}{}{} \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Zu einem
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianten}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
$U^{ { \perp } }$
$\varphi$-invariant.
}{Alle Eigenwerte sind reell.
}{Die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zu verschiedenen Eigenwerten sind
\definitionsverweis {orthogonal}{}{.}
}{Es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Dann zerfällt das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $\varphi$ in Linearfaktoren.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1). Es sei
\mathl{v \in U^{ { \perp } }}{} und
\mathl{u \in U}{.} Wegen der Invarianz von $U$ ist auch
\mathl{\varphi(u) \in U}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , u \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \varphi(u) \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also steht
\mathl{\varphi(v)}{} senkrecht auf $U$ und gehört damit zu
\mathl{U^{ { \perp } }}{,} was dessen Invarianz bedeutet.
(2). Dies ist nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
relevant. Es sei
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} ein Eigenwert und
\mathl{v \in V}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v)
}
{ =} { \lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir können diesen Eigenvektor als normiert annehmen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ =} { \left\langle \lambda v , v \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi(v) , v \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \varphi(v) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \lambda v \right\rangle
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \overline{ \lambda }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
also ist $\lambda$ reell.
(3). Es sei $v_1$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1$ und $v_2$ ein Eigenvektor zum Eigenwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_2
}
{ \neq }{ \lambda_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_1 \left\langle v_1 , v_2 \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \lambda_1 v_1 , v_2 \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi( v_1) , v_2 \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_1 , \varphi(v_2) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_1 , \lambda_2(v_2) \right\rangle
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \overline{ \lambda_2 } \left\langle v_1 , v_2 \right\rangle
}
{ =} { \lambda_2 \left\langle v_1 , v_2 \right\rangle
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Dies ist nur bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_1 , v_2 \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
möglich.
(4). Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
vorliegt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage bekannt, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb K}
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können die Abbildung auch als Abbildung von ${\mathbb C}^n$ nach ${\mathbb C}^n$ auffassen, wobei die Selbstadjungiertheit erhalten bleibt und wobei sich das charakteristische Polynom nicht ändert. Es zerfällt daher in Linearfaktoren, wobei die Nullstellen nach (2) reell sind.
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen} {.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {selbstadjungierter}{}{} \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $\varphi$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über die Dimension von $V$. Nach
Lemma 41.10 (4)
besitzt $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
$v$, den wir als normiert voraussetzen können, und nach
Lemma 41.10 (1)
ist das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { {\mathbb K} v^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
dazu ebenfalls invariant. Daher liegt eine direkte Summenzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { {\mathbb K} v \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor. Die Einschränkung von $\varphi$ auf $W$ ist ebenfalls selbstadjungiert und daher liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
Insbesondere ist ein selbstadjungierter Endomorphismus diagonalisierbar.
\zwischenueberschrift{Selbstadjungierte Endomorphismen und hermitesche Formen}
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Ein Endomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
induziert dann mit Hilfe des Skalarproduktes eine Form
\mathl{\Psi_\varphi}{,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_\varphi (v,w)
}
{ =} { \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist. Dafür gelten die folgenden Eigenschaften.
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Skalarprodukt/Endomorphismus/Sesquilinearform/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Durch die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } { \operatorname{Sesq}_{ } { \left( V \right) }
} { \varphi} { \Psi_\varphi
} {,}
wird einem
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
eine
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
zugeordnet.
}{Diese Zuordnung ist linear und bei endlichdimensionalem $V$ bijektiv.
}{Es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Der Endomorphismus ist genau dann
\definitionsverweis {bijektiv}{}{,}
wenn
\mathl{\Psi_\varphi}{} nicht
\definitionsverweis {ausgeartet}{}{}
ist.
}{Es sei $V$endlichdimensional. Der Endomorphismus ist genau dann
\definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{,}
wenn
\mathl{\Psi_\varphi}{}
\definitionsverweis {hermitesch}{}{}
ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1). Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \psi_\varphi (av_1 +b v_2,w)
}
{ =} { \left\langle \varphi(a v_1+b v_2) , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle a \varphi(v_1)+b \varphi(v_2) , w \right\rangle
}
{ =} { a \left\langle \varphi(v_1) , w \right\rangle + b \left\langle \varphi(v_2) , w \right\rangle
}
{ =} { a \psi_\varphi (v_1,w) + b \psi_\varphi (v_2,w)
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \psi_\varphi ( v ,a w_1 +b w_2)
}
{ =} { \left\langle \varphi(v) , aw_1 +b w_2 \right\rangle
}
{ =} { \overline{ a } \left\langle \varphi(v) , w_1 \right\rangle + \overline{ b } \left\langle \varphi(v) , w_2 \right\rangle
}
{ =} { \overline{ a } \psi_\varphi (v,w_1) + \overline{ b } \psi_\varphi (v,w_2)
}
{ } {}
}
{}
{}{,}
also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist
\mathl{\Psi_\varphi}{} eine
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{.}
(2). Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension
\mathl{{ \left( \dim_{ K } { \left( V \right) } \right) }^2}{,} es genügt also, die Injektivität zu zeigen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi_\varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{v,w}{,} sodass insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , \varphi(v) \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
(3). Wenn $\varphi$ nicht bijektiv ist, so sei
\mathl{v \in \operatorname{kern} \varphi}{,}
\mathl{v \neq 0}{.} Dann ist
\mathl{\Psi_\varphi(v, -)}{} die Nullabbildung in der zweiten Komponente und die Form ist ausgeartet. Es sei umgekehrt
\mathl{\Psi_\varphi(-,-)}{} ausgeartet. Dann gibt es einen Vektor
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass
\mathl{\left\langle \varphi(v) , - \right\rangle}{} die Nullabbildung ist. Da ein Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit ist $\varphi$ nicht bijektiv.
(4). Im selbstadjungierten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi_\varphi (v,w)
}
{ =} { \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , \varphi(w) \right\rangle
}
{ =} { \overline{ \left\langle \varphi(w) , v \right\rangle }
}
{ =} { \overline{ \Psi_\varphi (w,v) }
}
}
{}{}{.}
Die Umkehrung folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , w \right\rangle
}
{ =} { \Psi_\varphi (v,w)
}
{ =} { \overline{ \Psi_\varphi (w,v) }
}
{ =} { \overline{ \left\langle \varphi(w) , v \right\rangle }
}
{ =} { \left\langle v , \varphi(w) \right\rangle
}
}
{}{}{.}