Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen

Einleitung

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Zielsetzung

Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, die Konvergenz auf einem Funtionenraum $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ zu betrachten, die mit einem System von Gaugefunktionalen $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ topologisiert wurde.

Einleitung

Die Konvergenz von Funktionennetze als Verallgemeinerung von Funktionenfolgen z.B. in normierten oder metrischen Räumen tritt in dieser Lernressource im Kontext von Potenzreihen mit Koeffizenten in $A$ auf und bei Abbildungen $f:A\to A$, die dann selbst als Potenzreihen dargestellt werden können.

Konvergenz von Potenzreihen

Zunächst betrachtet man eine Potenzreihe in ${\overline {A[t]}}$ in Banachräumen von Funktionen, die dann als Folge der Partialsummen in $A$ aufgefasst werden. Ist das Argument $t$ einer Potenzreihe $p(t)$ mit $p\in A[t]$ ein Element aus dem Körper $\mathbb {K}$, dann benötigt man mit dem reellwertiges Argument lediglich die innere und äußere Verknüpfung auf einem toplogischen Vektorraum $A$. Wird das Argument $t$ einer Potenzreihe $p(t)$ als Element von $t\in A$ aufgefasst, dann entstehen in einer Potenzreihe als Summanden der Form $p_{n}\cdot t^{n}$. Dabei muss $A$ zusätzlich eine Multiplikation $\cdot :A\to A$ als innere Verknüpfung besitzen und eine vollständige Algebra bzw. des Gaugefunktionalsystems $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ sein.

Konvergenz von Funktionsnetzen

Potenzreihen $p\in {\overline {A[t}}$ in einer Banachalgebra mit Argumenten in $A$ sind Abbildungen $p:A\to A$. Allgemeiner kann man Funktionenfolgen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $f_{n}:A\to A$, die in dem Funktionenraum ${\mathcal {F}}(A,A)$ als topologischem Vektorraum konvergieren. Potenzreihen als Folge von Partialsummen kann man dabei Spezialfall der Folgenkonvergenz in Funktionenräumen betrachten.

Aufgaben für Studierende

Sei $(A,\|\cdot \|)$ mit $A={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$, der Norm $\|f\|:=\max _{x\in [a,b]}|f(x)|$ und den Algebraverknüpfungen wie folgt definiert:

$+:A\times A\to A$ mit $(f,g)\mapsto f+g:=h$ und $h(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

$\circ :A\times A\to A$ mit $(f,g)\mapsto f\circ g:=h$ und $h(x):=f(x)\cdot g(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes $x\in [a,b]$ definert:

$\cdot :\mathbb {K} \times A\to A$ mit $(\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h$ und $h(x):=\lambda \cdot f(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Aufgabe 1 - Polynome

Erzeugen Sie eine Polynom $p\in A[t]$ dritten Grades und berechnen Sie $p(t)$ mit $t\in A$ und $t(x):=sin(x)$.

Aufgabe 2 - Potenzreihe

Erzeugen Sie eine Potenzreihe $p\in {\overline {A[t]}}$ mit $|||p|||:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|$, $p_{k}\not =0_{A}$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ und berechnen Sie $|||p|||$!

Funktionenalgebren

Mit dem Topologisierungslemma für Algebren erfüllt dann das Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die Eigenschaften (A1)-(A5):

• (A1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in A}:\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 0}$
• (A2) ${\textstyle \displaystyle \left(\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\left\|x\right\|_{\alpha }=0\right)\Longrightarrow x=0_{A}}$
• (A3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in A,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }}$
• (A4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{x,y\in A}:\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}$
• (A5) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{x,y\in A}:\left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$

Potenzreihen allgemein

Eine Potenzreihe $p\in {\overline {A[t]}}$ wird als Element der Vervollständigung der Polynomalgebra $A[t]$ betrachtet, wobei mit $|||p|||_{\alpha }:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|_{\alpha }$ dann $|||p|||<\infty$ für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ erfüllt sein muss.

Aufgabe 1

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathbb {N} })$ mit $A={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$, den Halbnormen $\|f\|_{n}:=\max _{x\in [-n,+n]}|f(x)|$ und den oben genannten Algebraverknüpfungen definiert. Sein nun $p\in {\overline {A[t]}}$ mit $\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}$ mit $p_{k}(x):={\frac {1}{2^{k}}}\cdot x^{2}$ definiert. Berechnen Sie $|||p|||_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und überprüfen Sie damit, ob $p\in {\overline {A[t]}}$ erfüllt ist!

Aufgabe 2

Zeigen Sie (A1)-(A5) für $(A,\|\cdot \|_{\mathbb {N} })$ und für $({\overline {A[t]}},|||\cdot |||_{\mathbb {N} })$ für die oben definierte topologische Algebra (lokalkonvexe Algebra) $A={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

Aufgabe 3

Sei $\mathbb {R} ^{n}$ der Parameterraum von einer Teilmenge von Funktionen aus $A={\mathcal {C}}([a,b],{\mathcal {R}})$ mit der Integralnorm auf $A$.

$\|\cdot \|A\to \mathbb {R} \qquad f\mapsto \|f\|:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

Betrachten Sie das Gradientenabstiegsverfahren und erläutern Sie, wie über die Parametrisierung der Funktionen in $A$ eine Funktionenfolge in $A$ entsteht. Erzeugen Sie Funktionenfolge mit Parameter $(C_{n},D_{n},E_{n})\in \mathbb {R} ^{3}$ mit $f_{n}(x):=C_{n}\cdot cos(x)+D_{n}\cdot x+E_{n}$. Zeigen Sie für Ihre konvergente Parameterfolge $\lim _{n\to \infty }(C_{n},D_{n},E_{n})=(C_{0},D_{0},E_{0})$, dass die Funktion $f_{n}$ in der Integralnorm gegen eine Funktion $f_{o}\in A$ konvergiert. Geben Sie $f_{0}\in A$ an und weisen Sie die Konvergenz in der Integralnorm nach!

Siehe auch

• Topologische Algebra
• Stochastischer Prozess
• Wiki2Reveal
• Gradientenabstiegsverfahren

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