Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Ableitungen in topologischen Vektorräumen

Einführung

Bevor die Differenzierbarkeit allgemein auf topologischen Vektorräumen zu definieren, betrachten den Begriff der Differenzierbarkeit aus der Analysis und erweitern diesen dann auf topologische Vektoräume.

Differenzierbarkeit

Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Punkte werden in Kontext von topolgischen Vektorräumen Elemente $x_{0}\in V$ aus dem topologischen Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ .

Beispiel - erweiterter Differenzierbarkeitsbegriff

Sei $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {C} )$ Algebra der komplexwertigen einmal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$ nach $\mathbb {C}$ und ist $F:V\to V$ eine Abbildung mit folgender Funktionsvorschrift:

F(g):=f_{1}\cdot g+f_{0}

Polynom im Funktionenraum

Dabei sind $f_{0},f_{1}\in V$ mit

$f_{0}(x)=sin(x)$
$f_{1}(x)=x^{2}+i$

Aufgabe - Evaluation der Funktion auf V

Berechnen Sie für $g\in V$ mit $g(x)=^{2}$ die Funktion $F(g)\in V$ .
Versuchen Sie nun den, die Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion, den Sie aus der Analysis kennen, auf die Differenzierbarkeit auf einem Funktionenraum durch den Grenzwert eines Differenzenquotienten zu übertragen. Welche Schwierigkeiten treten dabei auf?

Differenzierbarkeit mit mehreren Veränderlichen

Der Begriff Differenzierbarkeit ist nicht nur für reellwertige Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen mehrerer Variablen, für komplexe Funktionen, für Abbildungen zwischen reellen oder komplexen Vektorräumen und für viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen. Für manche Typen von Funktionen (zum Beispiel für Funktionen mehrerer Variablen) gibt es mehrere verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe.

Thematische Einordnung der Differenzierbarkeit

Die Frage nach der Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis. In diesem Kurs wird Differenzierbarkeit auf unitalen topologischen Algebren mit einem unital positiven Gaugefunktionalsystem betrachtet.

Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen

Definitionen

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ , deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R}$ ein offenes Intervall reeller Zahlen ist. Eine solche Funktion $f$ ist differenzierbar an einer Stelle $x_{0}$ aus ihrem Definitionsbereich, wenn die Ableitung von $f$ an dieser Stelle existiert. Es gibt im Wesentlichen zwei äquivalente Definitionen für die Existenz der Ableitung:

1. Definition: Grenzwert Differenzenquotient

Eine Funktion $f$ ist genau dann differenzierbar an der Stelle $x_{0}$ ihres Definitionsbereichs, wenn der beidseitige Grenzwert der Differenzenquotienten

\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{0}$ , geschrieben $f'(x_{0})$ .

2. Definition: Taylorentwicklung bis zur 1. Ableitung

Eine Funktion $f$ ist genau dann differenzierbar an der Stelle $x_{0}$ ihres Definitionsbereichs, wenn eine reelle Zahl $m$ (die von $x_{0}$ abhängen darf) und eine (ebenfalls von $x_{0}$ abhängige) Funktion $r$ (Fehler der Approximation) mit folgenden Eigenschaften existieren:

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+m\cdot h+r(h)$
Für $h\to 0$ geht $r(h)$ schneller als linear gegen 0, das heißt: $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {r(h)}{h}}\to 0$

Bemerkung zur Taylorentwicklung

Die Funktion $f$ lässt sich also in der Nähe von $x_{0}$ durch eine lineare Funktion $g$ mit

g(x_{0}+h)=f(x_{0})+m\cdot h

bis auf den Fehler $r(h)$ approximieren. Den Wert $m$ bezeichnet man als die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{0}$ .

Bemerkung zur Geschichte der Definition

Differenzierbare Funktionen sind damit genau diejenigen Funktionen, die sich lokal durch lineare Funktionen approximieren lassen (siehe Abbildung). Diese Definition geht auf Karl Weierstraß zurück und wird Weierstraßsche Zerlegungsformel genannt.

Definition: Differenzierbare Funktion

Eine Funktion $f'\colon \mathbb {D} \to \mathbb {W}$ heißt genau dann differenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie an jeder Stelle $x_{o}\in \mathbb {D}$ ihres Definitionsbereichs $\mathbb {D}$ differenzierbar ist. Die Funktion $f'\colon \mathbb {D} \to \mathbb {W}$ ordnet jedem $x\in \mathbb {D}$ und die Ableitung $f'(x)\in \mathbb {W}$ zu. $f'$ heißt dann Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung von $f$ .

Erläuterungen 2 - Steigung der Tangente

Die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{0}$ ist die Steigung dieser Tangente. Die in der ersten Definition genannten Differenzenquotienten sind die Steigungen von Sekanten durch den Punkt $(x_{0},f(x_{0}))$ und einen anderen Kurvenpunkt $(x,f(x))$ . Die Funktion $f$ ist also an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar, wenn die Steigungen dieser Sekanten beim Grenzübergang $x\to x_{0}$ gegen die Steigung der Tangente konvergieren.

Erläuterungen 3 - Partielle Ableitung

Bei einer Funktion $f(\underbrace {x_{1},\ldots ,x_{n}} _{=x})=y$ in mehreren Veränderlichen mit $f:U\to \mathbb {R}$ und $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, kann man die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)$ an der Stelle $x\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ebenfalls als die Steigung dieser Tangente, wobei man alle Komponenten $x_{k}$ des Arguments der Funktion $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ mit Ausnahme $x_{i}$ als Konstanten auffasst und dann eine Ableitung der Form betrachtet

g'(x_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots x_{i},\ldots ,x_{n})

Beispiele für differenzierbare Funktionen

Aus den Ableitungsregeln folgt:

Jede Funktion, die sich durch ein Polynom darstellen lässt, ist differenzierbar.
Summen, Produkte und Quotienten von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.
Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.

Ableitung der Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ einer bijektiven differenzierbaren Funktion $f$ ist genau dann an der Stelle $y_{0}=f(x_{0})$ differenzierbar, wenn $f^{\prime }(x_{0})\neq 0$ ist.

Berechnung der Ableitung einer Funktion

Die Parabelfunktion $f(x)=x^{2}$ ist für alle $x\in \mathbb {R}$ differenzierbar. Sei $x_{0}\in \mathbb {R}$ dann ist

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2x_{0}h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}(2x_{0}+h)=2x_{0}

und ihre Ableitung ist $f'(x)=2x$ .

Potenzreihen und Differenzierbarkeit

Aus den Grenzwertsätzne für Potenzreihen folgt:

Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist differenzierbar.
In der komplexen Analysis liefert die einmalige komplexe Differenzierbarkeit (Holomorphie) auf einer offenen Menge $U$ auch, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist. Damit lassen sich holomorphe Funktionen lokal in Potenzreihen entwickeln.

Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen

Eine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist. Selbst wenn eine Funktion überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion

f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}

an jeder Stelle, inklusive $x=0$ , differenzierbar

Differenzierbarkeit im Nullpunkt

Die Funktion $f$ ist u.a. in 0 differenzierbar, weil

f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {h^{2}\cos \left({\tfrac {1}{h}}\right)-0}{h}}=0.

Ableitung im Nullpunkt nicht stetig

Die Ableitung

f'(x)={\begin{cases}2x\cos \left({\frac {1}{x}}\right)+\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}

ist aber an der Stelle 0 nicht stetig.

Definition: n-fache Differenzierbarkeit

Eine Funktion $f$ heißt zweimal differenzierbar, wenn ihre Ableitungsfunktion $f'$ differenzierbar ist. Entsprechend wird dreimal, viermal, …, $k$ -mal differenzierbar definiert. Die höheren Ableitungen werden mit $f''$ , $f'''$ , $f^{(4)}$ , …, $f^{(k)}$ bezeichnet.

Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit

Da aus der Differenzierbarkeit einer Funktion die Stetigkeit folgt, sind bei einer zweimal differenzierbaren Funktion die Funktion $f$ selbst und die erste Ableitung $f'$ automatisch stetig. Die zweite Ableitung $f''$ braucht jedoch nicht stetig zu sein. Entsprechend sind bei einer $k$ -mal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und alle Ableitungen $f'$ , $f''$ , … bis zur $(k-1)$ -ten Ableitung $f^{(k-1)}$ stetig. Für die $k$ -te Ableitung $f^{(k)}$ braucht dies jedoch nicht zu gelten. Ist diese auch stetig, so nennt man $f$ $k$ -mal stetig differenzierbar. Sind alle Ableitungen wieder differenzierbar, so nennt man die Funktion unendlich oft differenzierbar oder glatt.

Vektorraum von differenzierbaren Funktionen

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper. ${\mathcal {C}}^{k}(D,\mathbb {K} )$ bezeichnet die Menge aller $k$ -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit der Definitionsmenge $D$ und dem Wertebereich $\mathbb {K}$ . Die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen heißt ${\mathcal {C}}^{\infty }(D,\mathbb {K} )$ . Eine $k$ -mal stetig differenzierbare Funktion nennt man daher auch Funktion der Differentiationsklasse ${\mathcal {C}}^{k}$ , kurz: Funktion der Klasse ${\mathcal {C}}^{k}$ oder ${\mathcal {C}}^{k}$ -Funktion. Eine unendlich oft differenzierbare Funktion heißt entsprechend Funktion der (Differentiations-)Klasse ${\mathcal {C}}^{\infty }$ oder ${\mathcal {C}}^{\infty }$ -Funktion.

Erweiterung der partiellen Differenzierbarkeit auf Funktionenräumen

Dies ist der schwächste Differenzierbarkeitsbegriff. Die Funktion $f$ heißt partiell differenzierbar am Punkt $a$ in Richtung $x_{i}$ , falls die partielle Ableitung

{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a)}{h}}

existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf $x_{i}$ als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen.

Die Funktion $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt alle partiellen Ableitungen existieren. Sie heißt stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen stetige Funktionen von $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R}$ sind.

Richtungsableitung in Richtung eines Funktionsvektors

Ist $v\in V$ ein Einheitsvektor in einem normierten Vektorraum, so ist die (beidseitige) Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ an der Stelle $a$ definiert als

D_{v}f(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+hv)-f(a)}{h}}

.

Ableitung wird auch Differential genannt.

Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen

Ist $f$ eine Abbildung von einem Funktionenraum V in einen Funktionenraum W.
Die Einträge der Jacobi-Funktion fasst alle partiellen Ableitungen in Richtung der Einheitsvektoren.
$J_{f}(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\quad \dots \quad {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)$ .

Man erhält die Richtungsableitung in Richtung

v=(v_{1},\dots ,v_{n})

, indem man die totale Ableitung (eine lineare Abbildung) auf den Vektor

v

anwendet.

D_{v}f(a)=Df(a)\,v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\,v_{i}

Betrachten Sie analoge Strukturen in einem normierten Raum.

Umkehrungen ohne Stetigkeit der Ableitungen

Die Umkehrungen gelten nicht:

Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt weder die totale Differenzierbarkeit noch die beidseitige oder einseitige Differenzierbarkeit in Richtungen, die keine Koordinatenrichtungen sind.
Auch aus der beidseitigen Differenzierbarkeit in alle Richtungen folgt nicht totale Differenzierbarkeit. Selbst dann nicht, wenn der Kandidat für die totale Ableitung, die Abbildung $v\in \mathbb {R} ^{n}\mapsto D_{v}f(a)$ , linear ist.

Umkehrungen mit Stetigkeit der Ableitungen

Anders ist es, wenn man nicht nur die Existenz, sondern auch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen voraussetzt.

Ist $f$ stetig partiell differenzierbar, so ist $f$ auch total differenzierbar.

Man nennt stetig partiell differenzierbare Funktionen deshalb auch einfach stetig differenzierbar. Auch hier gilt die Umkehrung nicht:

Aus totaler Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

Implikationen für Differenzierbarkeitseigenschaften

Insgesamt gilt somit:

stetige partielle Differenzierbarkeit

\to

totale Differenzierbarkeit

\to

Differenzierbarkeit in jede Richtung

\to

partielle Differenzierbarkeit,

Es gelten jedoch keine der Umkehrungen.

Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen

Eine Abbildung $F$ von einer offenen Menge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ in den Vektorraum $\mathbb {R} ^{m}$ lässt sich durch ihre Komponentenfunktionen darstellen:

F(x)=\left(f_{1}(x),\dots ,f_{m}(x)\right)

mit

f_{i}\colon U\to \mathbb {R}

für

i=1,\dots ,m

.

Differenzierbarkeit von $F$ lässt sich dann auf Differenzierbarkeit der $f_{i}$ zurückführen. $F$ ist (im Punkt $a\in U$ ) genau dann partiell differenzierbar (differenzierbar in Richtung des Vektors $v$ , total differenzierbar, stetig partiell differenzierbar), wenn alle Komponentenfunktionen $f_{1},\dots ,f_{m}$ diese Eigenschaft haben.

Jakobi-Matrix

Ist $F$ im Punkt $a$ total differenzierbar, so ist $DF(a)$ eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{m}$ . Ihre Darstellungsmatrix, die Jacobi-Matrix, besteht aus den partiellen Ableitungen der Komponentenfunktion $f_{k}$ :

J_{F}(a)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

und die Richtungsableitung von $F$ im Punkt $a$ in Richtung $v$ ist das Bild des Vektors $v$ unter der linearen Abbildung $DF(a)$ .

Funktionen und Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen

Auf unendlichdimensionalen Vektorräumen gibt es keine Koordinaten, deshalb gibt es keine partielle Differenzierbarkeit. Die Begriffe Richtungsableitung und totale Differenzierbarkeit lassen sich jedoch auf unendlichdimensionale Vektorräume verallgemeinern. Dabei spielt im Gegensatz zum Endlichdimensionalen die Topologie auf den Vektorräumen eine wichtige Rolle. Typische Beispiel für unendlichdimensionale Vektorräume sind Funktionenräume, also Vektorräume, deren „Vektoren“ Funktionen sind. Zur Unterscheidung nennt man die auf diesen Vektorräume definierten Funktionen Funktionale und nennt Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen Operatoren.

Gâteaux-Differenzierbarkeit

Der Richtungsableitung entspricht die Gâteaux-Ableitung. Gegeben sei ein normierter Vektorraum $V$ (das heißt ein (typischerweise unendlichdimensionaler) Vektorraum zusammen mit einer Norm $\|\cdot \|$ ), eine offene Teilmenge $U\subset V$ und ein Funktional $F\colon U\to \mathbb {R}$ . Die Gâteaux-Ableitung von $F$ an einem „Punkt“ $x_{o}\in U$ in Richtung eines Vektors $v\in V$ ist dann gegeben durch

\delta F(a,v):=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x_{o}+h\,v)-F(x_{o})}{h}}

falls der Grenzwert existiert.

Bemerkung - Normierte Gateaux-Ableitung

Der Wert der Ableitung ist in der Regel von der Länge von $v$ abhängig. Eine Normierung des Vektors $v$ mit mit $\|v\|=1$ entspricht der Normierung der partiellen Ableitung in Richtung der Einheitsvektoren. Im normierten Fall ergibt sich:

{\frac {\partial F}{\partial v}}(x_{o}):=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x_{o}+h\,v)-F(x_{o})}{h}}{\mbox{ mit }}\|v\|=1

Aufgaben

Sei $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der Vektorraum der stetigen Funktionen mit der Maximumsnorm $\|\cdot \|$ auf $V$ mit $\|f\|:=\displaystyle \max _{x\in [a,b]}|f(x)|$ . Gegeben ist die Abbildung $F:V\to \mathbb {R}$ mit $F(f):=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ . Betrachten Sie die Gateaux-Ableitung von $F$ an der Stelle $f_{o}$ in Richtung $v$ mit $f_{o}(x):=x^{2}$ und $v(x):={\frac {1}{b-a}}$ .
Geben Sie eine Beispiel für eine Richtungsableitung an, bei dem sich die Richtungsableitung in Richtung $v$ und $2\cdot v$ unterscheiden.

Gâteaux-Abbildung

Falls die Gâteaux-Ableitung für jedes $v\in V$ existiert, dann ist eine Abbildung $\delta F(a)\colon V\to \mathbb {R}$ , $v\mapsto \delta F(a,v)$ erklärt. Aus der Definition folgt sofort, dass diese Abbildung positiv homogen ist, also $\delta F(a,\lambda v)=\lambda \delta F(a,v)$ für alle $\lambda >0$ .

Bemerkung - Existenz aller Richtungsableitungen

Wie im Endlichdimensionalen folgt aus der Existenz aller Richtungsableitungen nicht, dass $\delta F(a)$ additiv und damit linear ist. Auch wenn die Abbildung linear ist, folgt nicht, dass sie stetig ist.

Bemerkung - Unterschiedliche nicht verträgliche Definitionen

Für den Begriff Gâteaux-Differenzierbarkeit gibt es mehrere nicht verträgliche Konventionen:

Manche Autoren nennen ein Funktional $F$ Gâteaux-differenzierbar im Punkt $x_{o}$ , falls alle $\delta F(a,v)$ existieren, und bezeichnen dann die Abbildung $\delta F(a)$ als Gateaux-Ableitung von $F$ im Punkt $x_{o}$ . Andere fordern zusätzlich, dass $\delta F(a)$ linear und stetig ist.

Gâteaux-Differenzierbarkeit für Operatoren

Ganz analog definiert man Gâteaux-Differenzierbarkeit und Gâteaux-Ableitung für Operatoren $F:V\to W$ von einem normierten Vektorraum $(V,\|\cdot \|_{V})$ in einen andern normierten Vektorraum $(W,\|\cdot \|_{W})$ (typischerweise ein Banachraum). Die in der Definition der Gâteaux-Ableitung geforderte Konvergenz versteht sich dann im Sinne der Norm $\|\cdot \|_{W})$ auf $W$ . Entsprechendes gilt für die Stetigkeit von $\delta F(x_{o},\cdot )\colon V\to W$ .

Fréchet-Differenzierbarkeit

Der totalen Differenzierbarkeit im Endlichdimensionalen entspricht bei unendlichdimensionalen Vektorräumen die Fréchet-Differenzierbarkeit. Gegeben seien Banachräume $V$ und $W$ , eine offene Teilmenge $U\subset V$ , eine Abbildung $F\colon U\to W$ und ein Punkt $a\in U$ .

Definition - Fréchet-differenzierbar

Die Abbildung $F$ heißt Fréchet-differenzierbar, wenn eine beschränkte (also stetige) lineare Abbildung $L\colon V\to W$ und eine Abbildung $r\colon U\to W$ existieren, sodass für alle $h\in V$ mit $x_{o}+h\in U$ gilt

F(x_{o}+h)=F(x_{o})+L\,h+r(h){\mbox{ und }}\lim _{\Vert h\Vert \to 0}{\frac {\|r(h)\|_{_{W}}}{\Vert h\Vert _{_{V}}}}=0.

Dabei steht im Zähler die Norm von $W$ , im Nenner die von $V$ .

Bezeichung - Fréchet-Ableitung

Der lineare Operator $L\colon V\to W$ heißt in diesem Fall Fréchet-Ableitung von $F$ an der Stelle $a$ .

Zusammenhänge

Wie im Endlichdimensionalen ist jede Fréchet-differenzierbare Abbildung $F$ auch Gâteaux-differenzierbar und die Gâteaux-Ableitung stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein. Umgekehrt braucht $F$ im Punkt $a$ selbst dann nicht Fréchet-differenzierbar zu sein, wenn die Gâteaux-Ableitung $\delta F(a)$ linear und stetig ist.

Begriffserweiterungen

Folgende Konzepte sind Verallgemeinerungen der Differenzierbarkeit:

schwache Ableitungen
Differenzierbarkeit im Sinne von Distributionen
Radon-Nikodým-Ableitung

Weblinks

Commons: Differenzierbarkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

Literatur

Im Prinzip sämtliche einführende Literatur zu Analysis und/oder Differentialrechnung. Beispielsweise seien genannt:

Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2005, ISBN 3-528-47231-6.
Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bände. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.

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