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Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale

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Einleitung

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In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man -Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese -Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert.

Konvergenz in den reellen Zahlen

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Die reellen Zahlen mit dem Betrag ist ein normierter Raum und eine Folge in und :

Konvergenz in normierten Räumen

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Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen eine Folge in und :

audio15_def_konvergenz_norm.ogg

Epsilonumgebungen

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Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in auch zur Definition der -Umgebungen verwendet.

Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, -Halbnormen, ...)

Absorbierende Mengen

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Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte.

Einführung Gaugefunktionale

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Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Definition: p-homogen

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Sei ein Vektorraum über . Ein Funktional heißt -homogen, falls es ein mit gibt, für das gilt:

Ist , so heißt homogen. heißt nicht-negativ, falls für alle gilt .


Definition: p-Gaugefunktional

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Sei ein Vektorraum über . Ein nicht-negatives, -homogenes Funktional heißt -Gaugefunktional auf und für Gaugefunktional.

Beispiel: p-Gaugefunktional

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Sei und , dann ist ein -Gaugefunktional auf .

Aufgabe: p-Gaugefunktional

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Gegeben ist der Vektorraum und das -Gaugefunktional . Zeigen Sie, dass aber . Welche Mengeninklusion gilt allgemein für und mit und ?

Bemerkung

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Die -Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das bestimmt den Zusammenhang mit eine Quasihalbnorm.

Definition: p-Gaugefunktionalsystem

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Sei ein Vektorraum über , eine Indexmenge und für alle sei ein -Gaugefunktional auf . Dann wird mit die Menge aller -Gaugefunktionale mit Indizes aus bezeichnet, d.h.

heißt System von -Gaugefunktionalen. Ist nennt man Gaugefunktionalsystem.

Definition: Äquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen

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Sei ein Vektorraum über und , zwei -Gaugefunktionalsysteme auf . Die -Gaugefunktionalsysteme und heißen äquivalent, wenn folgende beiden Bedingungen gelten:

  • (EQ1)
  • (EQ2)

Beispiel: p-Gaugefunktionalsystem

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Sei und die Menge der stetigen Funktion von nach . Die Menge der -Gaugefunktional wird mit wie folgt definiert:

mit

Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem

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Sei ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen auf . Ferner sei eine Menge von -Gaugefunktionalen auf . Das -Gaugefunktionalsystem heißt basiserzeugend für , wenn gilt:

  • (BE1)
  • (BE2)

Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem

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  • (BE1) bedeutet dabei, dass die -Kugeln selbst offene Mengen sind.
  • Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge aus der Topologie als Vereinigung von -Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach Axiom (T3) auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von -Kugeln mit , und selbst wieder offen.

Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem

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Sei ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen auf . Ferner sei eine Menge von -Gaugefunktionalen auf . Das -Gaugefunktionalsystem heißt subbasiserzeugend für , wenn gilt mit :

  • (SE1)
  • (SE2)

mit

Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend

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Bei einem topologieerzeugenden -Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt -Kugeln durch die Bedingung

mit verlangt.


Definition: unital positiv

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Sei eine unitale topologische Algebra über mit dem Einselement der Multiplikation . Das -Gaugefunktionalsystem heißt unital positiv genau dann, wenn für alle die Bedingung .


Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem

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Man kann ein -Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives -Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar , wenn und als Minkowski-Funktional der absorbiernden Nullumgebung verwendet wird.


Bemerkung: p-Norm und Norm

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Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer -Norm mit , die im folgenden definiert wird.

Definition: Norm

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Sei ein topologischer Vektorraum über dem Körper . Ein Funktional heißt Norm auf , falls folgende Bedingungen erfüllt:

  • (N1)
  • (N2)
  • (N3)
  • (N4)

Definition: Halbnorm

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Sei ein topologischer Vektorraum über dem Körper . Ein Funktional heißt Halbnorm auf , falls folgende Bedingungen erfüllt:

  • (H1)
  • (H2)
  • (H3)

Bemerkung: Halbnorm - Norm

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Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren sich unterscheiden, d.h. bzw. gilt.

Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm

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Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante , wenn für alle gilt:

nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm durch eine äquivalente Halbnorm ersetzen, für die ist (siehe MLC-Regularität).

Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität

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Sei eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante und gegeben mit:

dann gibt es eine äquivalente Halbnorm mit

Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität

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Ist erhält die Submultiplikativität direkt mit

Beweis: Definition der Halbnorm

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Gilt nun , so definiert man für alle :

und man erhält die Submultiplikativität über:

Beweis: Äquivalenz der Halbnormen

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Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit , denn es gilt:

Bemerkung: Submultiplikativität

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Ist eine topologische Algebra ein normierter Raum, so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die -Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen.

Definition: p-Norm

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Sei ein Vektorraum über dem Körper und . Ein Funktional heißt -Norm auf , falls folgende Bedingungen erfüllt:

  • (PN1)
  • (PN2)
  • (PN3)
  • (PN4)

Bemerkung

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Für kann man ein -Norm auch zu einer Norm machen, indem man die Norm wie folgt definert:

Beispiel

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Sei mit und betrachtet man die Mengen der -summierbaren Reihen in den reellen Zahlen.

ist eine -Norm auf dem -Vektorraum .

Definition: p-Normierbarkeit

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Sei heißt -normierbar oder lokal beschränkt mit der Konkavitätskonstante , falls eine -Norm

,

existiert, die die Topologie auf erzeugt (formal ).

Definition: p-Halbnorm

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Sei ein topologischer Vektorraum über dem Körper und . Ein Funktional heißt -Halbnorm auf mit als Konkavitätskonstante., falls folgende Bedingungen erfüllt:

  • (PH1)
  • (PH2)
  • (PH3)

Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm

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Falls (PN2) in der Definition der -Norm nicht gilt, heißt -Halbnorm mit als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne -Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen (Hausdorfeigenschaft T2).

Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm

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Ein -Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante , wenn für alle gilt:

nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die- Halbnorm durch eine äquivalente -Halbnorm ersetzen, für die ist (siehe MPC-Regularität).

Definition: pseudokonvexer Vektorraum

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Sei heißt pseudokonvex, falls die Topologie durch ein System von -Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt.

,

Formal notiert man .

Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm

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Eine -Norm ist topologieerzeugend für die Topologie , wenn die folgende Bedingung gilt:

Die -Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet.

Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen

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Sei ein Vektorraum und ein -Gaugefunktional auf , dann ist die -Kugel von mit um einen Punkt (Bezeichnung: ) wie folgt definiert:

Definition: Quasinorm

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Sei ein topologischer Vektorraum über dem Körper . Ein Funktional

heißt Quasinorm auf , falls folgende Bedingungen erfüllt:

  • (QN1)
  • (QN2)
  • (QN3)
  • (QN4)

Definition: Quasihalbnorm

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Ein Funktional auf einem Vektorraum über dem Körper heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition , falls die folgende Bedingungen erfüllt:

  • (QH1)
  • (QH2)
  • (QH3)

Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm

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Analog zu Halbnormen und Normen bzw. -Normen und -Halbnormen wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt.

Bemerkung: Stetigkeitskonstante

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Die Stetigkeitskonstante hängt mit der Konkavitätskonstante einer -Norm bzw. -Halbnorm zusammen. Dies zeigt das Korrespondenzlemma für -Halbnormen

Konvergenz über Netze

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Sei eine topologischer Raum, und ein Netz in mit einer Indexmenge , die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über Netze wird wie folgt definiert:

Definition: Algebrenklassen

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Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse abhängt.

Notation 1: Algebrenklassen

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Sei eine Klasse topologischer Algebren und ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet:

  • Klasse der unitalen Algebren in ;
  • Klasse der kommutativen Algebren in , "kommutativ" bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren.
  • Klasse der topologischen Algebren über in ;

Notation 2: Algebrenklassen

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  • Klasse aller topologischen Algebren;
  • Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert);
  • Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt;
  • Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren;

Notation 3: Algebrenklassen

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  • Klasse der -normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren;
  • Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von -Halbnormen erzeugt;
  • Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren.

Bemerkung: Pseudokonvexe Räume

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Für pseudokonvexe Algebren kann das -System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem Korrespondenzsatz für -Halbnormen wird der Zusammenhang von -Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle -Halbnormen die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition Gaugefunktional) besitzen, d.h. für gilt

Aufgabe 1: Norm

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Zeichnen Sie die -Kugel in mit und

Zeichnen Sie den Rand der -Kugeln bzgl. der Norm mit

  • und
  • und

Aufgabe 2: p-Norm

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Zeichnen Sie die -Kugel in mit und

Zeichnen Sie den Rand der -Kugeln bzgl. der Norm mit

  • und
  • und

Siehe auch

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