Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen

Der Kurs

Grundlagen
rationale Zahlen
reelle Zahlen
komplexe Zahlen
Zahlenfolgen
Reihen
reelle Funktionen
Polynome und rationale Funktionen
elementare Funktionen
Differenzialrechnung
lokales und globales Verhalten von Funktionen
Iterationsverfahren
Integralrechnung
Potenzreihen
Vektorräume
Matrizen und lineare Gleichungssysteme
Determinanten
Skalarprodukt und Orthogonalität
Eigenwertproblem
Differenzialrechnung im ℝⁿ
Koordinantentransformationen
Integralrechnung im ℝⁿ
Wahrscheinlichkeitstheorie
Statistik
Logik
Mengen
Algebra
metrische Räume
lineare Funktionalanalysis

Übungen

Lerngruppe(n)

Weblinks und Literatur

Grundbegriffe

Definition:

Der Einheitskreis ist ein Kreis in der Ebene mit einem Mittelpunkt im Ursprung ${}_{O}$ und dem Radius ${}_{1}$.

Definition:

Ein Winkel ${}_{\alpha }$ entspricht einem Punkt ${}_{P}$ auf dem Einheitskreis und liegt zwischen der positiven Achse in Richtung ${}_{x}$ und dem Strahl ${}_{\overline {OP}}$.

Definition:

Das Bogenmaß ${}_{x}$ stellt die Länge des Kreisbogens vom Punkt mit den Koordinaten ${}_{(1,0)}$ zum Punkt ${}_{P}$ dar.

Definition:

Bei der Bestimmung des Winkels und des Bogenmaßes wird die Orientierung so gewählt, dass eine Drehung gegen den Urzeigersinn einem positiven Winkel entspricht.

Definition:

Dem ganzen Kreis entspricht ein Winkel von 360° bzw. das Bogenmaß ${}_{2\,\pi }$.

Satz:

Es gilt der Zusammenhang

$x=x\,{\frac {{180}^{\circ }}{\pi }}=\alpha \,{\frac {\pi }{{180}^{\circ }}}=\alpha$

Aufgrund der Periodizität des Kreises kann das Bogenmaß als reelle Zahl ${}_{x\in \mathbb {R} }$ betrachtet werden. Hierbei wird allen ${}_{\left\{x+2\,n\,\pi \left|n\in \mathbb {Z} \right.\right\}}$ derselbe Punkt ${}_{P}$ zugeordnet. Durch den Zusammenhang ${}_{x=\alpha }$ gilt dies analog auch für den Winkel. Eine Änderung des Bogenmaßes um ${}_{2\,\pi }$ (${}_{={360}^{\circ }}$) entspricht hierbei einem Umlauf auf dem Einheitskreis.

trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus

Definition:

Die Kosinusfunktion ${}_{\cos }$ und die Sinusfunktion ${}_{\sin }$ werden wie folgt definiert:

1. $\cos :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[-1,1\right],\quad x\mapsto \cos x$
2. $\sin :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[-1,1\right],\quad x\mapsto \sin x$

Hierbei ist ${}_{(\cos x,\ \sin x)}$ der dem Bogenmaß ${}_{x}$ entsprechende Punkt ${}_{P}$ im Einheitskreis.

Satz:

Da das Bogenmaß ${}_{x}$ ${}_{2\,\pi }$-periodisch ist, sind auch ${}_{\sin x}$ und ${}_{\cos x}$ ${}_{2\,\pi }$-periodisch.

Beweis:

1. $\cos(x+2\,\pi )=\cos x$
2. $\sin(x+2\,\pi )=\sin x$

Satz:

Es gelten zudem die folgenden Zusammenhänge:

• $\sin(x+\pi )=-\sin x$
• $\cos(x+\pi )=-\cos x$
• $\cos x=\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)$
• $\sin x=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)$

Satz:

Für die Nullstellen gilt:

• ${}_{\sin x}$ hat die Nullstellen

  $\forall k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi$

• ${}_{\cos x}$ hat die Nullstellen

  $\forall k\in \mathbb {Z} :\ x=\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\,\pi$

Satz:

• ${}_{\sin x}$ ist ungerade:

  $\sin x\neq \sin(-x)$

• ${}_{\cos x}$ ist gerade:

  $\cos x=\cos(-x)$

Satz:

• $\forall x\in \mathbb {R} :\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

Satz:

• $\forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\sin x\right|\leq 1$
• $\forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\cos x\right|\leq 1$

Wichtige Winkel $x$ $\sin x$ $\cos x$ $0$ $0$ $1$ ${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\frac {\pi }{4}}$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {\pi }{2}}$ $1$ $0$

Vorzeichen in den einzelnen Quadranten Quadrant $\sin x$ $\cos x$ $\mathrm {I}$ $+$ $+$ $\mathrm {II}$ $+$ $-$ $\mathrm {III}$ $-$ $-$ $\mathrm {IV}$ $-$ $+$

Sinussatz

Satz:

Der Sinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten ${}_{a}$, ${}_{b}$ und ${}_{c}$, sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln ${}_{\alpha }$, ${}_{\beta }$ und ${}_{\gamma }$ der Zusammenhang

${\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}$

gilt.

Beweis:

1. Sei ${}_{h_{a}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${}_{A}$, welche normal auf die Seite ${}_{a}$ steht. Der Punkt ${}_{A}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${}_{b}$ und ${}_{c}$. Aus ${}_{\sin \gamma ={\frac {h_{a}}{b}}}$ und ${}_{\sin \beta ={\frac {h_{a}}{c}}}$ folgt ${}_{b\,\sin \gamma =c\,\sin \beta }$.
2. Sei ${}_{h_{b}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${}_{B}$, welche normal auf die Seite ${}_{b}$ steht. Der Punkt ${}_{B}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${}_{a}$ und ${}_{c}$. Aus ${}_{\sin \gamma ={\frac {h_{c}}{a}}}$ und ${}_{\sin \alpha ={\frac {h_{c}}{c}}}$ folgt ${}_{a\,\sin \gamma =c\,\sin \alpha }$.
3. Sei ${}_{h_{c}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${}_{C}$, welche normal auf die Seite ${}_{c}$ steht. Der Punkt ${}_{C}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${}_{a}$ und ${}_{b}$. Aus ${}_{\sin \alpha ={\frac {h_{c}}{b}}}$ und ${}_{\sin \beta ={\frac {h_{c}}{a}}}$ folgt ${}_{a\,\sin \beta =b\,\sin \alpha }$.

Durch Gleichsetzen erhält man den Sinussatz. Einer der in diesem Beweis genannten Sätze ist hierbei redundant und kann für die Beweisführung entfallen.

Kosinussatz

Satz:

Der Kosinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten ${}_{a}$, ${}_{b}$ und ${}_{c}$, sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln ${}_{\alpha }$, ${}_{\beta }$ und ${}_{\gamma }$ die Zusammenhänge

1. $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \alpha$
2. $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\,a\,c\,\cos \beta$
3. $c^{2}=b^{2}+a^{2}-2\,b\,a\,\cos \gamma$

gelten. Hierbei können jeweils zwei dieser Gleichungen aus der jeweils dritten Gleichung abgeleitet werden.

Beweis:

TODO

Additionstheoreme für Sinus- und Kosinusfunktion

Satz:

$\forall x,y\in \mathbb {R} \ :$

1. $\sin(x\pm y)=\sin x\,\cos y\pm \cos x\,\sin y$
2. $\cos(x\pm y)=\cos x\,\cos y\mp \sin x\,\sin y$
3. $\sin(2\,x)=2\,\sin x\,\cos x$
4. $\cos(2\,x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$
5. $2\,\sin ^{2}x=1-\cos(2x)$
6. $2\,\cos ^{2}x=1+\cos(2x)$
7. $2\,\cos x\,\cos y=\cos(x-y)+\cos(x+y)$
8. $2\,\sin x\,\cos y=\sin(x-y)+\sin(x+y)$
9. $2\,\sin x\,\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y)$
10. $\sin x\pm \sin y=2\,\sin {\frac {x\pm y}{2}}\,\cos {\frac {x\mp y}{2}}$
11. $\cos y+\cos y=2\,\cos {\frac {x+y}{2}}\,\cos {\frac {x-y}{2}}$
12. $\cos x-\cos y=-2\,\sin {\frac {x+y}{2}}\,\sin {\frac {x-y}{2}}$

Beweis:

TODO

Tangens und Kotangens

Definition:

Der Tangens ${}_{\tan }$ ist wie folgt definiert:

• $\forall k\in \mathbb {Z} :\ \tan :\ \left]-{\frac {k\,\pi }{2}},{\frac {k\,\pi }{2}}\right[\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\sin x}{\cos x}}$

oder

• $\forall k\in \mathbb {Z} :\ \tan :\ \mathbb {R} \setminus \left(\pi \,k+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\sin x}{\cos x}}$

Definition:

Der Kotangens ${}_{\cot }$ ist wie folgt definiert:

• $\forall k\in \mathbb {Z} :\ \cot :\ \left]k,k\,\pi \right[\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}$

oder

• $\forall k\in \mathbb {Z} :\ \cot :\ \mathbb {R} \setminus \left(k\,\pi \right)\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}$

Satz:

Tangens und Kotangens sind ${}_{\pi }$-periodisch.

Satz:

Der Tangens ist wegen

$\tan x=-\tan(-x)$

ungerade.

Satz:

Der Kotangens ist wegen

$\cot x=-\cot(-x)$

ungerade.

Satz:

$\cot x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$

Satz:

Das Additionstheorem für Tangens lautet:

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\,\tan y}}$

Satz:

Das Additionstheorem für Kotangens lautet:

$\cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}$

Wichtige Winkel

$x$	$\tan x$	$\cot x$
$0$	$0$	$\left[\infty ,-\infty \right]$
${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$1$	$1$
${\frac {\pi }{3}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$\left[\infty ,-\infty \right]$	$0$

Ungleichungen

Satz:

Es gilt die Ungleichung

$\forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\sin x\right|\leq \left|x\right|$

Beweis:

TODO

Satz:

Es gilt die Ungleichung

$x\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[:\ x\leq \tan x$

Beweis:

TODO

Stetigkeit der Winkelfunktionen

Satz:

Die Funktionen ${}_{\sin x}$, ${}_{\cos x}$, ${}_{\tan x}$ und ${}_{\cot x}$ sind im Definitionsbereich stetig.

Satz:

Die Funktion ${}_{\tan x}$ hat an den Stellen

$k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi +{\frac {\pi }{2}}$

Pole erster Ordnung.

Satz:

Die Funktion ${}_{\cot x}$ hat an den Stellen

$k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi$

Pole erster Ordnung.

Beweis:

TODO

Arcus-Funktionen

Die Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Weben der Periodizität der trigonometrischen Funktionen sind diese nur auf Teilen der Definitionsbereiche umkehrbar.

Arcus sinus

Definition:

Der Arcus sinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Da der Sinus im Bereich ${}_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ stetig und streng monoton wachsend ist, wird der Arcus sinus wie folgt definiert:

$\arcsin :\ \left[-1,1\right]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],\ x\mapsto \arcsin x$

Satz:

Die Funktion ${}_{\arcsin x}$ ist stetig und streng monoton wachsend.

Arcus cosinus

Definition:

Der Arcus cosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Da der Kosinus im Bereich ${}_{\left]0,\pi \right[}$ stetig und streng monoton fallend ist, wird der Arcus cosinus wie folgt definiert:

$\arccos :\ \left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right],\ x\mapsto \arccos x$

Satz:

Die Funktion ${}_{\arctan x}$ ist stetig und streng monoton fallend.

Arcus tangens

Definition:

Der Arcus tangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Da der Tangens im Bereich ${}_{\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ stetig ist, wird der Arcus tangens wie folgt definiert:

$\arctan :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[,\ x\mapsto \arctan x$

Satz:

Die Funktion ${}_{\arctan x}$ ist stetig und streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt:

$\lim \limits _{x\to \pm \infty }\left(\arctan x\right)=\pm {\frac {\pi }{2}}$

Die Funktion ${}_{\arctan x}$ wird etwa benötigt um karthesische Koordinaten der Form ${}_{(x,y)}$ in Polarkoordinaten der Form ${}_{(r,\varphi )}$ zu transformieren. Aus

$(x,y)=(r\,\cos \varphi ,\ r\,\sin \varphi )$

folgt

$(r,\tan \varphi )=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{z}}\right)$

Bei der Bestimmung des Winkels ${}_{\varphi \in \left[0,2\,\pi \right)}$ muss man berücksichtigen in welchem Quadrant der Punkt ${}_{(x,y)}$ liegt. Ist ${}_{n}$ die Nummer des Quadranten und ${}_{\lfloor \ \rfloor }$ die Gaußklammer, so gilt:

$(r,\varphi )=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\arctan {\frac {y}{x}}+\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \,\pi \right)$

Potenzfunktionen

allgemeine Potenzfunktion

Definition:

Die allgemeine Potenzfunktion mit der Basis ${}_{x}$ und dem Exponenten ${}_{y}$ wird als

$y\mapsto x^{y}$

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Potenzfunktion zum Exponenten ${}_{y}$ bezeichnet.

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist vom Exponenten abhängig:

• für ${}_{y\in \mathbb {Z} \land y>0}$ ist ${}_{x^{y}}$ ein auf ${}_{\mathbb {R} }$ definiertes Polynom.
• für ${}_{y\in \mathbb {Z} \land y<0}$ ist ${}_{x^{y}}$ ein auf ${}_{\mathbb {R} \setminus 0}$ definierte rationale Funktion.
• für ${}_{y=0}$ ist die Funktion gleich ${}_{1}$.
• für ${}_{y\in \mathbb {R} \setminus Z\land y\neq 0}$ sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall ${}_{\left[0,\infty \right)}$.
• für ${}_{y\in \mathbb {R} \setminus Z\land y<0}$ sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall ${}_{\left(0,\infty \right)}$.

Satz:

Die Funktion ${}_{x^{y}}$ ist im Bereich ${}_{y<0}$ streng monoton fallend und im Bereich ${}_{y>0}$ streng monoton wachsend.

Satz:

Die Funktion ${}_{x^{y}}$ ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

allgemeine Exponentialfunktion

Definition:

Die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis ${}_{x}$ und dem Exponenten ${}_{y}$ wird als

${\forall x\in \mathbb {R} }\land {x>0}:\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+},\ x\mapsto x^{y}$

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Exponentialfunktion zur Basis ${}_{x}$ bezeichnet.

Satz:

Für die allgemeine Exponentialfunktion gilt das Multiplikationstheorem

$\forall x,y\in \mathbb {R} :\ x^{a}\,x^{b}=x^{a+b}$

Beweis:

TODO: siehe Rechenregeln für rationale und reelle Zahlen.

Satz:

Die Funktion ${}_{x^{y}}$ ist für

1. ${}_{x>1}$ streng monoton wachsend.
2. ${}_{x=1}$ konstant.
3. ${}_{x>1}$ streng monoton fallend.

Satz:

Die allgemeine Exponentialfunktion ist auf ${}_{\mathbb {R} }$ stetig.

Beweis:

Es gelten ${}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x^{\frac {1}{n}}=1}$ und ${}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x^{-{\frac {1}{n}}}=1}$.

Zu einem beliebigen ${}_{\epsilon >0}$ gibt es daher eine natürliche Zahl ${}_{n:=N(\epsilon )\in \mathbb {N} }$, so dass für ${}_{x>1}$ der Zusammenhang

$1-\epsilon <x^{-{\frac {1}{n}}}<x^{\frac {1}{n}}<1+\epsilon$

gilt.

Für ${}_{\left|y\right|<{\frac {1}{n_{\epsilon }}}=\delta (\epsilon )}$ folgt hieraus aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion der Zusammenhang

$1-\epsilon <x^{y}<1+\epsilon$

Die Funktion ${}_{x^{y}}$ ist somit an der Stelle ${}_{y=0}$ stetig.

---

Für ${}_{y\neq 0}$ schreibt man ${}_{x^{y'}=x^{y}\,x^{{y'}-y}}$. Der Beweis erfolgt über den Satz der Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.

---

Für ${}_{y\in \left]0,1\right[}$ folgt die Stetigkeit durch Einsetzen von ${}_{y={\frac {1}{b}}}$ mit ${}_{b\in \mathbb {R} \land b>1}$.

Satz:

Es gilt:

1. $\forall x\in \mathbb {R} \land x>1:$

   $\lim \limits _{y\rightarrow \infty }x^{y}=\infty$

   $\lim \limits _{y\rightarrow -\infty }x^{y}=0$

2. $\forall x\in \mathbb {R} \land x\in \left]0,1\right[:$

   $\lim \limits _{y\rightarrow \infty }x^{y}=0$

   $\lim \limits _{y\rightarrow -\infty }x^{y}=\infty$

allgemeiner Logarithmus

Da die allgemeine Exponentialfunktion ${}_{b^{x}}$ mit ${}_{b\neq 1}$ das Intervall ${}_{\left]-\infty ,\infty \right[}$ streng monoton auf das Intervall ${}_{\left]0,\infty \right[}$ abbildet, existiert eine Umkehrfunktion, welche das Intervall ${}_{\left]0,\infty \right[}$ auf ${}_{\left]-\infty ,\infty \right[}$ abbildet.

Definition:

Es sei ${}_{b\in \mathbb {R} \land b>0}$. Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion ${}_{b^{x}}$ ist definiert durch

$\log _{b}:\ \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ y\mapsto \log _{b}x$

und wird als Logarithmus zur Basis ${}_{b}$ bezeichnet.

Satz:

Es gilt:

1. $y=\log _{b}x\Leftrightarrow x=b^{y}$
2. $\forall x\in \left]0,\infty \right[:\ b^{\log _{b}x}=x$
3. $\forall y\in \left]-\infty ,\infty \right[:\ \log _{b}b^{y}=y$
4. $\log _{b}b=1$
5. $\log _{b}1=0$

Satz:

Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:

1. $\log _{b}x+\log _{b}y=\log _{b}x\,y$ (Additionstheorem)
2. $\log _{b}x^{y}=y\,\log _{b}x$
3. $\log _{b}z=\log _{a}z\,\log _{b}a$

Beweis:

1. Im Multiplikationstheorem für die allgemeine Exponentialfunktion ${}_{b^{x+y}=b^{x}\,b^{y}}$ wird der Exponent ${}_{x}$ durch ${}_{\log _{b}x}$ und der Exponent ${}_{y}$ durch ${}_{\log _{b}y}$ ersetzt. Das Additionstheorem folgt aus

   $b^{({\log _{b}x}+{\log _{b}y})}=b^{(\log _{b}x)}\,b^{(\log _{b}y)}=x\,y=b^{(\log _{b}x\,y)}$

2. Mit ${}_{r=\log _{b}y}$ folgt aus ${}_{(b^{r})^{x}=b^{r\,x}}$ der Zusammenhang

   $y^{x}=\left(b^{\log _{b}y}\right)^{x}=b^{x\,{(\log _{b}y)}}$

3. Ersetzt man in ${}_{\log _{b}a^{y}=y\,\log _{b}a}$ die Variable ${}_{y}$ durch den Ausdruck ${}_{\log _{a}z}$, so erhält man den Zusammenhang

   $\log _{b}a^{\log _{a}z}=\log _{b}z={\log _{a}z}\,\log _{b}a$

natürliche Exponentialfunktion und natürlicher Logartithmus

Definition:

Die Funktion ${}_{e^{x}}$ bzw. ${}_{\exp x}$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.

$\exp :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]0,\infty \right[,\ x\mapsto e^{x}$

Satz:

Die Funktion ${}_{e^{x}}$ ist auf dem gesamten Bereich ${}_{x\in \mathbb {R} }$ stetig und streng monoton wachsend.

Definition:

Die Umkehrfunktion von ${}_{e^{x}}$ ist ${}_{\ln x}$ und wird als natürlicher Logarithmus bezeichnet.

$\ln :\ \left]0,\infty \right[\rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln x$

Satz:

Für den natürlichen Logarithmus gelten die folgenden Zusammenhänge:

1. $\ln 1=0$
2. $\forall x\in \mathbb {R} :\ \ln e^{x}=x$ (Spezialfall: $\forall x\in \mathbb {R} :\ \ln e=1$)
3. $\forall x\in \mathbb {R} \land x>0:\ e^{\ln x}=x$

Satz:

Über ${}_{x=e^{\ln x}}$ erhält man im Definitionsbereich ${}_{\left]0,\infty \right[}$ für ${}_{x^{y}}$ den Zusammenhang ${}_{x^{y}=e^{y\,\ln x}}$.

Satz:

Es gilt

$\forall x\in \left]0,\infty \right[:\ \log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}$

Hyperbelfunktionen

Der Begriff „Hyperbelfunktion“ ist darin begründet, dass die Punkte

$t\in \mathbb {R} :\ (\cosh t,\sinh t)$

alle auf der Hyperbel

$x^{2}-y^{2}=1$

liegen. Es handelt sich also um die Parameterdarstellung dieser Hyperbel.

Satz:

Alle Hyperbelfunktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Cosinus hyperbolicus

Definition:

Der Cosinus hyperbolicus wird definiert über

$\cosh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[1,\infty \right[,\ x\mapsto {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=-i\,\sin(i\,x)$

• 
  Cosinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion ${}_{\cosh }$ ist gerade.

Satz:

Die Funktion ${}_{\cosh }$ ist im Bereich ${}_{\left]-\infty ,0\right]}$ streng monoton fallend und im Bereich ${}_{\left[0,\infty \right[}$ streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt

1. $\lim \limits _{x\rightarrow \pm \infty }\cosh x=\infty$
2. $\lim \limits _{x\rightarrow \infty }\cosh x=\infty$
3. $\lim \limits _{x\rightarrow -\infty }\cosh x=-\infty$
4. $\lim \limits _{x\rightarrow \infty }\cosh x=1$
5. $\lim \limits _{x\rightarrow -\infty }\cosh x=-1$

Sinus hyperbolicus

Definition:

Der Sinus hyperbolicus wird definiert über

$\sinh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-\infty ,\infty \right[,\ x\mapsto {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=\cos(i\,x)$

• 
  Sinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion ${}_{\sinh }$ ist ungerade.

Tangens hyperbolicus

Definition:

Der Tangens hyperbolicus wird definiert über

$\tanh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-1,1\right[,\ x\mapsto {\frac {\sinh x}{\cosh x}}$

• 
  Tangens hyperbolicus

Satz:

Die Funktion ${}_{\tanh }$ ist ungerade.

Cotangens hyperbolicus

Definition:

Der Cotangens hyperbolicus wird definiert über

$\coth :\ \mathbb {R} \setminus 0\rightarrow \mathbb {R} \setminus \left[1,1\right],\ x\mapsto {\frac {\cosh x}{\sinh x}}$

• 
  Cotangens hyperbolicus

Satz:

Die Funktion ${}_{\coth }$ ist ungerade.

Additionstheoreme

Satz:

Es gelten ${}_{\forall x,y\in \mathbb {R} }$ die folgenden Additionstheoreme:

1. $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$
2. $\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh(2\,x)$
3. $\cosh x\pm \sinh x=e^{\pm x}$
4. $\cosh(x\pm y)=\cosh x\,\cosh y\pm \sinh x\,\sinh y$
5. $\sinh(x\pm y)=\sinh x\,\cosh y\pm \cosh x\,\sinh y$

Diese Additionstheoreme ergeben sich über die Definition der Hyperbelfunktionen aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Areafunktionen

Definition:

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.

Area sinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion Area sinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Sie wird definiert durch

$\operatorname {arsinh} :\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

Beweis:

Da die Funktion ${}_{\sinh }$ auf ${}_{\mathbb {R} }$ streng monoton wachsend ist, existiert eine Umkehrfunktion. Aus den Definitionen

$\sinh x={\frac {1}{2}}\,\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

und

$x=\sinh y\Leftrightarrow x=\operatorname {arsinh\,} y$

folgt

$2\,x=e^{y}-e^{-y}$.

Mit ${}_{e^{y}=z}$ und anschließender Multiplikation mit ${}_{z}$ erhält man die quadratische Gleichung

$z^{2}-2\,x\,z-1=0$

mit den Lösungen

$z_{1,2}=x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}$.

Da ${}_{z>0}$ ist, gilt

$z=e^{y}=x+{\sqrt {x^{2}+1}}$.

Daraus erhält man

$y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$.

Area cosinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion Area cosinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus. Sie gilt nur im Intervall ${}_{\left[1,\infty \right[}$ und ist definiert durch

$\operatorname {arcosh} :\ \left[1,\infty \right[\rightarrow \left[0,\infty \right[,\ x\mapsto \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

Beweis:

Die Funktion ${}_{y=\cosh x}$ jeden Wert ${}_{y\in \left]0,\infty \right[}$ zweimal an.

Auf dem Bereich ${}_{x\in \left[0,\infty \right[}$ ist sie streng monoton wachsend. In diesem Bereich existiert daher eine Umkehrfuktion. Aus den Definitionen

$\cosh x={\frac {1}{2}}\,\left(e^{x}+e^{-x}\right)$

und

$x=\cosh y\Leftrightarrow x=\operatorname {arcosh\,} y$

folgt

$2\,x=e^{y}+e^{-y}$.

Mit ${}_{e^{y}=z}$ und anschließender Multiplikation mit ${}_{z}$ erhält man die quadratische Gleichung

$z^{2}-2\,x\,z+1=0$

mit den Lösungen

$z_{1,2}=x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$.

Da ${}_{z>0}$ ist, gilt

$z=e^{y}=x+{\sqrt {x^{2}-1}}$.

Daraus erhält man

$y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$.

Satz:

Die Funktion ${}_{-\operatorname {arcosh\,} y}$ ist die Umkehrfunktion von ${}_{y=f(x)=\cosh x}$ mit ${}_{x\in \left[0,-\infty \right[}$.

Area tangens hyperbolicus

Satz:

Die Funktion Area tangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus. Sie ist definiert durch

$\operatorname {artanh} :\ \left]-1,1\right[\rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {1+x}{1-x}}$

Beweis:

Die Funktion ${}_{\tanh }$ ist auf ${}_{\mathbb {R} }$ streng monoton wachsend. Es existiert daher eine Umkehrfunktion.

Aus der Definition von ${}_{x=\tanh y}$ folgt mit ${}_{z=e^{y}}$ die Gleichung

$x={\frac {z-{\frac {1}{z}}}{z+{\frac {1}{z}}}}$.

Durch Umformen erhält man

$z^{2}={\frac {1+x}{1-x}}$.

Daraus erhält man durch Logarithmieren die Gleichung

$y=\ln z={\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {1+x}{1-x}}$.

Area cotangens hyperbolicus

Satz:

Die Funktion Area cotangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cotangens hyperbolicus. Sie wird definiert durch

$\operatorname {arcoth} :\ \mathbb {R} \setminus \left[-1,1\right]\rightarrow \mathbb {R} \setminus 0,\ x\mapsto {\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {x+1}{x-1}}$

Beweis:

TODO