Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen

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Grundbegriffe[Bearbeiten]

Definition:

Der Einheitskreis ist ein Kreis in der Ebene mit einem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius .

Definition:

Ein Winkel entspricht einem Punkt auf dem Einheitskreis und liegt zwischen der positiven Achse in Richtung und dem Strahl .

Definition:

Das Bogenmaß stellt die Länge des Kreisbogens vom Punkt mit den Koordinaten zum Punkt dar.

Definition:

Bei der Bestimmung des Winkels und des Bogenmaßes wird die Orientierung so gewählt, dass eine Drehung gegen den Urzeigersinn einem positiven Winkel entspricht.

Definition:

Dem ganzen Kreis entspricht ein Winkel von 360° bzw. das Bogenmaß .

Satz:

Es gilt der Zusammenhang

Aufgrund der Periodizität des Kreises kann das Bogenmaß als reelle Zahl betrachtet werden. Hierbei wird allen derselbe Punkt zugeordnet. Durch den Zusammenhang gilt dies analog auch für den Winkel. Eine Änderung des Bogenmaßes um () entspricht hierbei einem Umlauf auf dem Einheitskreis.

trigonometrische Funktionen[Bearbeiten]

Sinus und Kosinus[Bearbeiten]

Definition:

Die Kosinusfunktion und die Sinusfunktion werden wie folgt definiert:

Hierbei ist der dem Bogenmaß entsprechende Punkt im Einheitskreis.

Satz:

Da das Bogenmaß -periodisch ist, sind auch und -periodisch.

Beweis:

Satz:

Es gelten zudem die folgenden Zusammenhänge:

Satz:

Für die Nullstellen gilt:

  • hat die Nullstellen
  • hat die Nullstellen

Satz:

  • ist ungerade:
  • ist gerade:

Satz:

Satz:

Wichtige Winkel
Vorzeichen in den einzelnen Quadranten
Quadrant

Sinussatz[Bearbeiten]

Satz:

Der Sinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten , und , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln , und der Zusammenhang

gilt.

Beweis:

  1. Sei die Höhe des Dreiecks durch den Punkt , welche normal auf die Seite steht. Der Punkt sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten und . Aus und folgt .
  2. Sei die Höhe des Dreiecks durch den Punkt , welche normal auf die Seite steht. Der Punkt sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten und . Aus und folgt .
  3. Sei die Höhe des Dreiecks durch den Punkt , welche normal auf die Seite steht. Der Punkt sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten und . Aus und folgt .

Durch Gleichsetzen erhält man den Sinussatz. Einer der in diesem Beweis genannten Sätze ist hierbei redundant und kann für die Beweisführung entfallen.

Kosinussatz[Bearbeiten]

Satz:

Der Kosinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten , und , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln , und die Zusammenhänge

gelten. Hierbei können jeweils zwei dieser Gleichungen aus der jeweils dritten Gleichung abgeleitet werden.

Beweis:

TODO

Additionstheoreme für Sinus- und Kosinusfunktion[Bearbeiten]

Satz:

Beweis:

TODO

Tangens und Kotangens[Bearbeiten]

Definition:

Der Tangens ist wie folgt definiert:

oder

Definition:

Der Kotangens ist wie folgt definiert:

oder

Satz:

Tangens und Kotangens sind -periodisch.

Satz:

Der Tangens ist wegen

ungerade.

Satz:

Der Kotangens ist wegen

ungerade.

Satz:

Satz:

Das Additionstheorem für Tangens lautet:

Satz:

Das Additionstheorem für Kotangens lautet:

Wichtige Winkel

Ungleichungen[Bearbeiten]

Satz:

Es gilt die Ungleichung

Beweis:

TODO

Satz:

Es gilt die Ungleichung

Beweis:

TODO

Stetigkeit der Winkelfunktionen[Bearbeiten]

Satz:

Die Funktionen , , und sind im Definitionsbereich stetig.

Satz:

Die Funktion hat an den Stellen

Pole erster Ordnung.

Satz:

Die Funktion hat an den Stellen

Pole erster Ordnung.

Beweis:

TODO

Arcus-Funktionen[Bearbeiten]

Die Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Weben der Periodizität der trigonometrischen Funktionen sind diese nur auf Teilen der Definitionsbereiche umkehrbar.

Arcus sinus[Bearbeiten]

Definition:

Der Arcus sinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Da der Sinus im Bereich stetig und streng monoton wachsend ist, wird der Arcus sinus wie folgt definiert:

Satz:

Die Funktion ist stetig und streng monoton wachsend.

Arcus cosinus[Bearbeiten]

Definition:

Der Arcus cosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Da der Kosinus im Bereich stetig und streng monoton fallend ist, wird der Arcus cosinus wie folgt definiert:

Satz:

Die Funktion ist stetig und streng monoton fallend.

Arcus tangens[Bearbeiten]

Definition:

Der Arcus tangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Da der Tangens im Bereich stetig ist, wird der Arcus tangens wie folgt definiert:

Satz:

Die Funktion ist stetig und streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt:

Die Funktion wird etwa benötigt um karthesische Koordinaten der Form in Polarkoordinaten der Form zu transformieren. Aus

folgt

Bei der Bestimmung des Winkels muss man berücksichtigen in welchem Quadrant der Punkt liegt. Ist die Nummer des Quadranten und die Gaußklammer, so gilt:

Potenzfunktionen[Bearbeiten]

allgemeine Potenzfunktion[Bearbeiten]

Definition:

Die allgemeine Potenzfunktion mit der Basis und dem Exponenten wird als

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Potenzfunktion zum Exponenten bezeichnet.

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist vom Exponenten abhängig:

  • für ist ein auf definiertes Polynom.
  • für ist ein auf definierte rationale Funktion.
  • für ist die Funktion gleich .
  • für sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall .
  • für sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall .

Satz:

Die Funktion ist im Bereich streng monoton fallend und im Bereich streng monoton wachsend.

Satz:

Die Funktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

allgemeine Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Definition:

Die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis und dem Exponenten wird als

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Exponentialfunktion zur Basis bezeichnet.

Satz:

Für die allgemeine Exponentialfunktion gilt das Multiplikationstheorem

Beweis:

TODO: siehe Rechenregeln für rationale und reelle Zahlen.

Satz:

Die Funktion ist für

  1. streng monoton wachsend.
  2. konstant.
  3. streng monoton fallend.

Satz:

Die allgemeine Exponentialfunktion ist auf stetig.

Beweis:

Es gelten und .

Zu einem beliebigen gibt es daher eine natürliche Zahl , so dass für der Zusammenhang

gilt.

Für folgt hieraus aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion der Zusammenhang

Die Funktion ist somit an der Stelle stetig.


Für schreibt man . Der Beweis erfolgt über den Satz der Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.


Für folgt die Stetigkeit durch Einsetzen von mit .

Satz:

Es gilt:

allgemeiner Logarithmus[Bearbeiten]

Da die allgemeine Exponentialfunktion mit das Intervall streng monoton auf das Intervall abbildet, existiert eine Umkehrfunktion, welche das Intervall auf abbildet.

Definition:

Es sei . Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion ist definiert durch

und wird als Logarithmus zur Basis bezeichnet.

Satz:

Es gilt:

Satz:

Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:

  1. (Additionstheorem)

Beweis:

  1. Im Multiplikationstheorem für die allgemeine Exponentialfunktion wird der Exponent durch und der Exponent durch ersetzt. Das Additionstheorem folgt aus
  2. Mit folgt aus der Zusammenhang
  3. Ersetzt man in die Variable durch den Ausdruck , so erhält man den Zusammenhang

natürliche Exponentialfunktion und natürlicher Logartithmus[Bearbeiten]

Definition:

Die Funktion bzw. wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.

Satz:

Die Funktion ist auf dem gesamten Bereich stetig und streng monoton wachsend.

Definition:

Die Umkehrfunktion von ist und wird als natürlicher Logarithmus bezeichnet.

Satz:

Für den natürlichen Logarithmus gelten die folgenden Zusammenhänge:

  1. (Spezialfall: )

Satz:

Über erhält man im Definitionsbereich für den Zusammenhang .

Satz:

Es gilt

Hyperbelfunktionen[Bearbeiten]

Der Begriff „Hyperbelfunktion“ ist darin begründet, dass die Punkte

alle auf der Hyperbel

liegen. Es handelt sich also um die Parameterdarstellung dieser Hyperbel.

Satz:

Alle Hyperbelfunktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Cosinus hyperbolicus[Bearbeiten]

Definition:

Der Cosinus hyperbolicus wird definiert über

Satz:

Die Funktion ist gerade.

Satz:

Die Funktion ist im Bereich streng monoton fallend und im Bereich streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt

Sinus hyperbolicus[Bearbeiten]

Definition:

Der Sinus hyperbolicus wird definiert über

Satz:

Die Funktion ist ungerade.

Tangens hyperbolicus[Bearbeiten]

Definition:

Der Tangens hyperbolicus wird definiert über

Satz:

Die Funktion ist ungerade.

Cotangens hyperbolicus[Bearbeiten]

Definition:

Der Cotangens hyperbolicus wird definiert über

Satz:

Die Funktion ist ungerade.

Additionstheoreme[Bearbeiten]

Satz:

Es gelten die folgenden Additionstheoreme:

Diese Additionstheoreme ergeben sich über die Definition der Hyperbelfunktionen aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Areafunktionen[Bearbeiten]

Definition:

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.

Area sinus hyperbolicus[Bearbeiten]

Satz:

Die Funktion Area sinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Sie wird definiert durch

Beweis:

Da die Funktion auf streng monoton wachsend ist, existiert eine Umkehrfunktion. Aus den Definitionen

und

folgt

.

Mit und anschließender Multiplikation mit erhält man die quadratische Gleichung

mit den Lösungen

.

Da ist, gilt

.

Daraus erhält man

.

Area cosinus hyperbolicus[Bearbeiten]

Satz:

Die Funktion Area cosinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus. Sie gilt nur im Intervall und ist definiert durch

Beweis:

Die Funktion jeden Wert zweimal an.

Auf dem Bereich ist sie streng monoton wachsend. In diesem Bereich existiert daher eine Umkehrfuktion. Aus den Definitionen

und

folgt

.

Mit und anschließender Multiplikation mit erhält man die quadratische Gleichung

mit den Lösungen

.

Da ist, gilt

.

Daraus erhält man

.

Satz:

Die Funktion ist die Umkehrfunktion von mit .

Area tangens hyperbolicus[Bearbeiten]

Satz:

Die Funktion Area tangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus. Sie ist definiert durch

Beweis:

Die Funktion ist auf streng monoton wachsend. Es existiert daher eine Umkehrfunktion.

Aus der Definition von folgt mit die Gleichung

.

Durch Umformen erhält man

.

Daraus erhält man durch Logarithmieren die Gleichung

.

Area cotangens hyperbolicus[Bearbeiten]

Satz:

Die Funktion Area cotangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cotangens hyperbolicus. Sie wird definiert durch

Beweis:

TODO