Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Zahlenfolgen

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Grenzwerte[Bearbeiten]

Definition:

Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung . Anstatt von

schreibt man die Folge meist mit Indizes als

.

Die Zahlen werden als Glieder der Folge bezeichnet. Der Ausdruck wird als allgemeines Glied bezeichnet.

Definition:

Eine Folge komplexer Zahlen wird analog als eine Abbildung definiert.

Definition:

Eine Folge wird als konvergent mit dem Granzwert bezeichnet, wenn eine Zahl existiert, so dass mit der Zusammenhang gilt.

In diesem Fall schreibt man

Definition:

Eine Folge, welche nicht konvergent ist, wird als divergent bezeichnet.

Definition:

Eine Folge wird als Nullfolge bezeichnet, wenn

gilt.

Satz:

Werden endlich viele Glieder einer Folge geändert, so wird die Konvergenz und der Grenzwert beibehalten.

Satz:

Für zwei Folgen und gelten die folgenden Rechenoperationen:

  1. Summenfolge
  2. Differenzfolge
  3. Produktfolge
  4. Quotientenfolge

Satz:

Sind zwei Folgen und mit und konvergent, so sind auch deren Summe, Differenz und Produkt konvergent. Dies gilt auch für den Quotient, wobei allerdings der Nenner nicht Null werden darf. Es gilt daher:

Definition:

Eine Folge wird als Cauchyfolge bezeichnet, wenn der Zusammenhang

gilt.

Eine Folge ist also dann eine Cauchyfolge, wenn für größer werdende Indizes ( und ) die Differenz der Werte der Glieder dieser Folge beliebig kleiner (), jedoch nicht Null (), wird.

Beispiel:

Die Folge ist eine Cauchyfolge.

Beweis:

Es muss der Zusammenhang

erfüllt werden.

Es wird angenommen, dass gilt. Es gilt daher der Zusammenhang

.

Deshalb ist

wenn

.

Daraus folgt

.

Satz:

Das Konvergenzkriterium von Cauchy besagt, dass für eine Folge mit genau dann konvergent ist, wenn die Folge eine Cauchyfolge ist.

Beweis:

Aus

folgt, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.

Beweis:

TODO: Beweis mit Umkehrung (Satz von Bolzano-Weierstraß)

Satz:

Es folgt aus der Vollständigkeit in , dass jede Cauchyfolge in mit einem Grenzwert in konvergiert.

Monotone Folgen[Bearbeiten]

Definition:

Eine Folge wird als monoton wachsend bezeichnet, wenn

Definition:

Eine Folge wird als streng monoton wachsend bezeichnet, wenn

Definition:

Eine Folge wird als monoton fallend bezeichnet, wenn

Definition:

Eine Folge wird als streng monoton fallend bezeichnet, wenn

Definition:

Eine Folge wird als nach oben beschränkt bezeichnet, wenn es eine Konstante gibt mit welcher

gilt.

Definition:

Eine Folge wird als nach unten beschränkt bezeichnet, wenn es eine Konstante gibt mit welcher

gilt.

Satz:

Der Hauptsatz über monotone Folgen besagt, dass für

  1. eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge
    1. konvergent ist
    2. gilt
  2. eine monoton fallende und nach ungen beschränkte Folge
    1. konvergent ist
    2. gilt.
Merke

Einschließungsprinzip[Bearbeiten]

Satz:

der Satz über das Einschließungsprinzip besagt, dass wenn die Folgen und gegen den selben Grenzwert konvergieren, auch die Folge mit

konvergent gegen ist.

Merke
Merke
Definition:

Der Grenzwert

ist die Euler`sche Zahl.

Definition:

Eine Folge ist konvergent gegen Unendlich, wenn

Definition:

Eine Folge ist konvergent gegen minus Unendlich, wenn