Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Reelle Zahlen

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Einführung in die reellen Zahlen

Die Zahlengerade ist kontinuierlich. Auf dieser finden sich die natürlichen Zahlen ${}_{x\in \mathbb {N} }$ , sowie die rationalen Zahlen ${}_{x\in \mathbb {Q} }$ mit ${}_{\mathbb {N} \subset \mathbb {Q} }$ . Bereits in der Antike wurde anhand des Lehrsatzes des Pythagoras festgestellt, dass es Zahlen gibt, welche sich nicht in ${}_{\mathbb {Q} }$ befinden. Die Definition dieser Zahlen stellte bis zum 19. Jahrhundert ein ungelöstes Problem dar.

Satz:

x={\sqrt {2}}\Leftrightarrow x^{2}=2\rightarrow x\notin \mathbb {Q}

Beweis:

Der indirekte Beweis folgt aus der Annahme einer Zahl ${}_{c}$ mit

\forall p,q\in \mathbb {N} \land \left(\operatorname {ggT} (p,q)=1\right):\ \exists c\in \mathbb {Q} :\ c={\frac {p}{q}}

.

Daraus lassen sich die folgenden Schlüsse ziehen:

\left(c^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2\right)

\Rightarrow p^{2}=2\,q^{2}

\Rightarrow r\in \mathbb {N} :\ p=2\,r

\Rightarrow 2^{2}\,r^{2}=2\,q^{2}

\Rightarrow 2\,r^{2}=q^{2}

\Rightarrow \operatorname {ggT} (p,q)>1

.

Die ursprüngliche Annahme der Teilerfremdheit ${}_{\operatorname {ggT} (p,q)=1}$ wurde dadurch widerlegt, weshalb ${}_{c\notin \mathbb {Q} }$ .

Definition:

Zahlen die nicht rational sind

x\notin \mathbb {Q}

werden als irrationale Zahlen bezeichnet.

Definition:

Die Menge der reellen Zahlen

x\in \mathbb {R}

ist die Vereinigungsmenge aller rationalen und aller irrationalen Zahlen. Die reellen Zahlen liegen beliebig dicht beisammen und repräsentieren daher alle Punkte auf der Zahlengeraden.

Satz:

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar mächtig.

Beweis:

Zweites Cantor`sches Diagonalverfahren

Rechenoperationen mit reellen Zahlen

Betrag von reellen Zahlen

Invervalle mit reellen Zahlen

Mengen von reellen Zahlen