Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Reelle Zahlen

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Einführung in die reellen Zahlen[Bearbeiten]

Die Zahlengerade ist kontinuierlich. Auf dieser finden sich die natürlichen Zahlen , sowie die rationalen Zahlen mit . Bereits in der Antike wurde anhand des Lehrsatzes des Pythagoras festgestellt, dass es Zahlen gibt, welche sich nicht in befinden. Die Definition dieser Zahlen stellte bis zum 19. Jahrhundert ein ungelöstes Problem dar.

Satz:

Beweis:

Der indirekte Beweis folgt aus der Annahme einer Zahl mit

.

Daraus lassen sich die folgenden Schlüsse ziehen:

.

Die ursprüngliche Annahme der Teilerfremdheit wurde dadurch widerlegt, weshalb .

Definition:

Zahlen die nicht rational sind

werden als irrationale Zahlen bezeichnet.

Definition:

Die Menge der reellen Zahlen

ist die Vereinigungsmenge aller rationalen und aller irrationalen Zahlen. Die reellen Zahlen liegen beliebig dicht beisammen und repräsentieren daher alle Punkte auf der Zahlengeraden.

Satz:

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar mächtig.

Rechenoperationen mit reellen Zahlen[Bearbeiten]

Betrag von reellen Zahlen[Bearbeiten]

Invervalle mit reellen Zahlen[Bearbeiten]

Mengen von reellen Zahlen[Bearbeiten]