Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Rationale Zahlen

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Satz:

Die Menge der rationalen Zahlen entspricht genau der Menge der endlichen Dezimalzahlen und der unendlichen periodischen Dezimalzahlen.

Satz:

Jede rationale Zahl ist eine endliche Dezimalzahl oder eine unendliche periodische Dezimalzahl.

unendliche Folge von Neunern[Bearbeiten]

Satz:

Beweis:

Satz:

Jede unendliche Dezimalzahl, welche mit einer unendlichen Folge von Neunern endet, stellt eine endliche Dezimalzahl dar.

Beispiel:

Beweis:

Definition:

Um eine eindeutige Zahlendarstellung zu erhalten, tritt im dezimalen Zahlensystem ab einen bestimmten Index die Ziffer 9 nicht mehr auf.

Umwandlung zwischen Bruch- und Dezimaldarstellung[Bearbeiten]

Satz:

Die Umwandlung einer rationalen Zahl in die Dezimaldarstellung erfolgt durch Division mit Rest.

Beispiel:

Satz:

Bei der Division mit Rest einer Zahl durch die Zahl mit können als Rest nur die Zahlen auftreten.

Die Division muss hierbei entweder endlich sein oder in einer Periode mit einer Länge von höchstens enden.

Satz:

Eine Dezimalzahl wird durch Umwandlung in eine Reihe in einen Bruch umgeformt.

Beispiel:

Hierbei gilt

Daraus erhält man

mit

erhält man

Betrag rationaler Zahlen[Bearbeiten]

Definition:

Der Betrag einer rationalen Zahl ist gegeben durch

rationale Intervallschachtelung[Bearbeiten]

Definition:

Das Intervall mit und stellt alle Punkte auf der Zahlengeraden dar, welche sich zwischen den Endpunkten und befinden, sowie die Endpunkte und selbst. Die Intervalllänge des Intervalls ist gegeben durch

Definition:

Als rationale Intervallschachtelung bezeichnet man eine Folge von von Intervallen der Form

,

wobei jedes Intervall im vorhergehenden Intervall enthalten ist:

.

Die Längen der Folgen rationaler Zahlen konvergiert gegen Null.

Satz:

Die Längen der Intervalle in einer rationalen Intervallschachtelung konvergiert in gegen Null.

Satz:

Das Intervallschachtelungsaxiom besagt, dass es für eine rationale Intervallschachtelung nur ein einziger Punkt auf der Zahlengeraden existiert, welcher in allen Intervallen enthalten ist.

Satz:

Jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau ein unendlicher Dezimalbruch.

Beweis:

Jedem Punkt auf der Zahlengeraden werden zwei Punkte und zugeordnet, wobei links und rechts von liegt:

Man nähert nun den Punkt iterativ an den Punkt an:

(Abbruchbedingung)

Dadurch wird eine rationale Intervallschachtelung mit definiert, wobei jedes Intervall den Punkt enthält. Da zwei verschiedene Punkte verschiedenen Zahlen entsprechen ist die Zuordnung injektiv.

TODO: surjektive Intervallschachtelung

Beispiel:

Die rationale Intervallschachtelung kann etwa angewendet um zu berechnen. Dazu definiert man ein Intervall, welches enthält:

also gilt

man halbiert nun den Intervall:

da , kann nun ein neues Intervall mit

angegeben werden. Durch weitere Halbierung kann beliebig genau angenähert werden.