Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Komplexe Zahlen

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Einführung

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Grundlegend wird die sogenannte Imaginäre Einheit, i, eingeführt. Sie ist wie folgt definiert:

$i^{2}:=-1$

Beweis $i\notin \mathbb {R}$

Komplexe Ebene

Allgemein werden komplexe Zahlen dargestellt als:

$z=a+b\cdot i;\qquad a,b\in \mathbb {R}$

Die Zahlengerade, die alle reellen Zahlen enthielt ( $b=0$ ), wird durch die Einführung komplexer Zahlen zu einer Ebene erweitert. Dies ist einfach vorstellbar, wenn man jeder komplexen Zahl einen Vektor zuordnet:

$z=a+b\cdot i\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {z}}:={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

a heisst Realteil( ${\mathcal {R}}$ ), b (nicht ib) Imaginärteil( ${\mathcal {I}}$ ) von z.

Da es sich um Punkte in einer Ebene handelt, können komplexe Zahlen auch in Polarform dargestellt werden(Eulersche Relation):

${\begin{aligned}z&=r\cdot e^{i\varphi };\qquad r\in \mathbb {R} ;\varphi \in [-\pi ;\pi [\\r&=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\e^{i\varphi }&=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )\end{aligned}}$

Damit ergibt sich für Real- und Imaginärteil:

${\begin{aligned}{\mathcal {R}}\{z\}&=r\cdot \cos(\varphi )\\{\mathcal {I}}\{z\}&=r\cdot \sin(\varphi )\\\end{aligned}}$

Euler-Transformation

Rechenregeln

Einführung

Beweis i ∉ R {\displaystyle i\notin \mathbb {R} }

Komplexe Ebene

Euler-Transformation

Rechenregeln

Beweis $i\notin \mathbb {R}$