Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/2/Probeklausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 3x^{2}-2xy-y^{2}+5x,

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x^{2}-x+13,

zwischen ${}4$ und ${}8$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

\varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ definierten Funktion

f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.

Aufgabe * (10 Punkte)

a) Formuliere den Banachschen Fixpunktsatz.

b) Beweise die Existenzaussage im Banachschen Fixpunktsatz.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {y^{2}}{x}},\,{\frac {y^{3}}{x^{2}}}\right).

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$ .

b) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,2)$ lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung ${}\psi =\varphi ^{-1}$ besitzt, und bestimme das totale Differential von ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$ .

c) Man gebe alle Punkte ${}Q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ an, in denen ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.

Aufgabe * (9 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}+y^{2}+z^{2},\,2x+3y+4z\right).

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$ . Zeige, dass ${}P=(1,-2,1)$ regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt ${}P=(1,-2,1)$ den Tangentialraum an die Faser ${}F$ von ${}\varphi$ durch ${}P$ .

c) Man gebe für ${}P=(1,-2,1)$ einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von ${}P$ in der Faser ${}F$ durch ${}P$ an.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

ein Gradientenfeld und sei

\varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

( ${}J\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=G(v)$ . Es gelte ${}\varphi '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in J$ . Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.