Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/2/Probeklausur

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Aufgabe * (4 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.


Aufgabe * (10 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion


Aufgabe * (10 Punkte)

a) Formuliere den Banachschen Fixpunktsatz.

b) Beweise die Existenzaussage im Banachschen Fixpunktsatz.


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .

b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .

c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.


Aufgabe * (9 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .

c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung






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