Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 49/latex
\setcounter{section}{49}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {euklidische Raum}{}{} $\R^n$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {,} die \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} sei. Zeige, dass $f$ auch \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} mit \definitionsverweis {Lipschitz-Konstante}{}{} $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und es sei
\maabbdisp {F} {M} {M} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt, wenn der Durchschnitt des
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von $F$ mit der
\definitionsverweis {Diagonalen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ = }{ { \left\{ (x,x) \in M \times M \mid x \in M \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht leer ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {D= { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 0 < \Vert {(x,y)} \Vert \leq 1 \right\} }} { . }
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
\maabbdisp {f} {D} {D
} {,}
die keinen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{,} die zugleich eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} sei. Zeige, dass dann die Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {f(x)-x } {,} streng fallend ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer bijektiven \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} mit einer \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $\psi$ derart, dass $\psi$ nicht differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x,y+f(x)) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.
}
{} {}
Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn $f$ differenzierbar ist?
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{.} Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^n} {\R^n } {(x_1 , \ldots , x_n)} { (f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n)) } {,}Zeige: \aufzaehlungdrei{Die Abbildung $f$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{Das totale Differential von $f$ in $0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen $f_i, \, i =1 , \ldots , n$, die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} in $0$ nicht $0$ sind. }{$f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von $0$ bijektiv, wenn die einzelnen $f_i$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind. }
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben seien die
\definitionsverweis {Homomorphismenräume}{}{}
\mathl{\operatorname{Hom} \, (V,W)}{} mit der
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathdisp {\Vert {\varphi} \Vert := {\operatorname{sup} \, ( \Vert { \varphi(v)} \Vert , \Vert {v} \Vert = 1 ) }} { }
versehen
\zusatzklammer {vergleiche auch Arbeitsblatt 22} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N}{} und sei
\mathl{G= \operatorname{Gl} (n, \R)}{} die Menge der
\definitionsverweis {reellen}{}{}
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {G} {G
} {M} {M^{-1}
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
ist, wenn $\varphi$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist und wenn die Abbildung
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Hom} \, (V,W)
} {P} { \left(D\varphi\right)_{P}
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann vollständig ist, wenn $T$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
in
\definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{,}
die in einem Punkt
\mathl{P \in U_1}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
sei derart, dass die Umkehrabbildung in
\mathl{Q=\varphi(P)}{} auch differenzierbar ist. Zeige, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\Q } {,} die keinen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_{ >1}} {\R
} {x} {f(x) = 1 + \ln x
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt: Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(y) }
}
{ <} { \betrag { x-y }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {x,y \in \R_{>1}} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,}
aber $f$ ist nicht
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen zwei
\definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
genau dann
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{}
ist, wenn
\mathl{\Vert {\varphi} \Vert < 1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {.}
}
{} {(Tipp: Versuche, diese Funktion als Hintereinanderschaltung von einfacheren Abbildungen zu schreiben.)}
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