Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 49

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Der Banachsche Fixpunktsatz



Satz  

Es sei ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

eine

stark kontrahierende Abbildung.

Dann besitzt genau einen Fixpunkt.

Beweis  

Es sei , , ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte

für alle . Wenn Fixpunkte sind, so folgt aus

sofort und somit , es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Sei nun ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

rekursiv definierte Folge in . Wir setzen . Dann gilt für jedes die Beziehung

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für die Beziehung

Zu einem gegebenen wählt man mit . Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert sein muss.




Der Satz über die Umkehrabbildung

Der Satz über die (lokale) Umkehrabbildung gehört zu den wichtigsten Sätzen der mehrdimensionalen Analysis. Er besagt, dass eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, für die das totale Differential in einem Punkt bijektiv ist (was voraussetzt, dass die Dimension des Definitionsraum mit der Dimension des Zielraums übereinstimmt), die Abbildung selbst auf geeigneten kleinen offenen Umgebungen von und von eine Bijektion ist. D.h. die Abbildung verhält sich lokal so wie das totale Differential.

Wir brauchen einige Vorbereitungen. Der Beweis des folgenden Lemmas ist schon eine gute Einstimmung für den Beweis des folgenden Hauptsatzes.



Lemma  

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, und offene Teilmengen und sei

eine bijektive differenzierbare Abbildung. Sei . Das totale Differential

sei bijektiv und die Umkehrabbildung

sei stetig in .

Dann ist die Umkehrabbildung differenzierbar in und für ihre Ableitung gilt

Beweis  

Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass und ist. Es sei die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung . Wir betrachten die Gesamtabbildung

Diese ist wieder differenzierbar, und das totale Differential davon ist nach der Kettenregel. Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für , da eine lineare Abbildung differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass eine differenzierbare Abbildung mit ist, deren totales Differential in die Identität ist.
Nach diesen Reduktionen bedeutet die Differenzierbarkeit von in , dass der Limes

ist. Wir müssen entsprechend für die Umkehrabbildung die Beziehung

zeigen. Es genügt, dies für jede Folge nachzuweisen. Eine solche Folge kann man eindeutig schreiben als (mit ) und aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von konvergiert auch die Folge gegen . Also ist

Wegen mit gibt es eine hinreichend kleine Umgebung von derart, dass

Daher lässt sich die obere Gleichungskette (für hinreichend groß) fortsetzen durch

und dies konvergiert gegen .


Im allgemeinen ist eine differenzierbare Abbildung nicht bijektiv. Man kann das Lemma aber häufig anwenden, indem man zu einer kleineren offenen Umgebung des Punktes übergeht und für diese die Bijektivität auf das Bild zeigt.

Im Beweis des folgenden Satzes geht auch die folgende Version des Mittelwertsatzes ein.


Lemma

Seien und euklidische Vektorräume, sei offen und enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsstrecke. Es sei

eine differenzierbare Abbildung und es gelte

für alle .

Dann gilt für die Abschätzung

Beweis

Bei ist nichts zu zeigen, sei also . Wir betrachten die Abbildung

Da nach Voraussetzung ist, ist dies eine differenzierbare Kurve. Daher gibt es nach der Mittelwertabschätzung für Kurven ein mit


Der folgende Satz besagt, dass eine stetig differenzierbare Abbildung in einer geeigneten offenen Umgebung eines Punktes bijektiv ist, wenn die Ableitung in diesem Punkt bijektiv ist. D.h., dass sich die Abbildung lokal so verhält wie die lineare Approximation.



Satz  

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen und es sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion

induziert, und dass die Umkehrabbildung

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Beweis  

  Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass und ist. Es sei die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung . Wir betrachten die Gesamtabbildung

Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist . Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für , da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit ist, deren totales Differential in die Identität ist. Wir werden dennoch von und sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.
Sei fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung

Diese Hilfabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt ist genau dann ein Fixpunkt von , also ein Punkt mit , wenn ist, d.h. wenn ein Urbild von unter ist. Die Abbildungen sind selbst stetig differenzierbar und es gilt .
  Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz auf anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von unter nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von und wegen

gibt es ein , , derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Für jedes gilt daher nach der Mittelwertabschätzung die Abschätzung

Für und gilt

Für jedes liegt also eine Abbildung

vor.
Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt für zwei Punkte die Abschätzung

so dass eine stark kontrahierende Abbildung ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel vollständig sind (siehe Aufgabe ***** und Aufgabe *****), besitzt jede Abbildung aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt aus , den wir mit bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist .
Zu gehört das eindeutige Urbild zur offenen Kugel , wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen und , wobei aufgrund der Stetigkeit von offen ist. Die eingeschränkte Abbildung

ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung

die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.
Wir zeigen zuerst, dass Lipschitz-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten . Seien gegeben mit den eindeutigen Elementen mit und . Es gelten die Abschätzungen

wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich


Aufgrund von Lemma 49.2 ist auch differenzierbar und es gilt die Formel

Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von ablesen, da stetig ist, da das totale Differential von nach Voraussetzung stetig von abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.




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