Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 22

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine Teilmenge der reellen Zahlen. Zeige, dass genau dann kompakt und zusammenhängend ist, wenn ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

mit

stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Es sei

eine Polynomfunktion vom Grad . Zeige, dass nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.


Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.


Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit

für alle gibt.


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und , die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass auch gleichmäßig stetig ist.


Die nächsten Aufgaben verwenden folgende Definition.


Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann nennt man

die Norm von .


Aufgabe

Begründe, warum die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen wohldefiniert ist.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor , , mit

gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist .
  4. Es ist .


Aufgabe

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von . Zeige, dass die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass Lipschitz-stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

mit der Eigenschaft, dass das

Bild einer offenen Menge nicht offen sein muss.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

mit der Eigenschaft, dass das Bild einer abgeschlossenen Menge nicht abgeschlossen sein muss.


Aufgabe

Sei eine nichtleere Menge versehen mit der diskreten Metrik. Zeige, dass eine stetige Abbildung

konstant ist.


Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

wobei jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms sei.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von existiert. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die lineare Abbildung

wobei der mit der euklidischen Norm versehen sei. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Norm von .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung . Bestimme einen Vektor auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt und Radius , an dem die Funktion

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von .


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (4 Punkte)

Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch

eine wohldefinierte, stetige Funktion gegeben ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Die reelle Ebene sei mit der euklidischen, der Summen- oder der Maximumsmetrik versehen. Bestimme, abhängig von der gewählten Metrik, die maximale Anzahl von Punkten derart, dass die Metrik auf der Teilmenge die diskrete Metrik induziert.



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