Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 49

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der euklidische Raum vollständig ist.


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und , die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass auch gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von mit der Diagonalen nicht leer ist.


Aufgabe

Es sei

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

die keinen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe

Sei

eine wachsende Funktion, die zugleich eine starke Kontraktion sei. Zeige, dass dann die Funktion

streng fallend ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

mit einer stetigen Umkehrabbildung derart, dass nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Es sei

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn differenzierbar ist?

Aufgabe

Es seien

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

Zeige:
  1. Die Abbildung ist differenzierbar.
  2. Das totale Differential von in ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen , die Ableitungen in nicht sind.
  3. ist genau dann auf einer offenen Umgebung von bijektiv, wenn die einzelnen in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.


In den folgenden Aufgaben seien die Homomorphismenräume mit der Norm

versehen (vergleiche auch Arbeitsblatt 22).

Aufgabe

Sei und sei die Menge der reellen invertierbaren -Matrizen. Zeige, dass die Abbildung

stetig ist.


Aufgabe

Seien und euklidische Vektorräume, offen und sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann stetig differenzierbar ist, wenn total differenzierbar ist und wenn die Abbildung

stetig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein vollständiger metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann vollständig ist, wenn abgeschlossen ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien und offene Mengen in euklidischen Vektorräumen und . Es sei

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential bijektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

die keinen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

folgende Eigenschaften besitzt: Es ist
für alle

, , aber ist nicht stark kontrahierend.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine lineare Abbildung

zwischen zwei euklidischen Vektorräumen und genau dann stark kontrahierend ist, wenn ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

(Tipp: Versuche, diese Funktion als Hintereinanderschaltung von einfacheren Abbildungen zu schreiben.)



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