Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 50/latex
\setcounter{section}{50}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {D} {\R
} {(x,y)} {xy \sqrt{3- x^2-y^2}
} {,}
den maximalen Definitionsbereich
\mathl{D\subseteq \R^2}{} und untersuche die Funktion auf
\definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2} {\R \times \R_+ } {(x,y)} {(x, e^{x+y}) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Man gebe explizit eine \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere explizit einen
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} zwischen $\R^n$ und einer offenen Kugel
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \subseteq \R^n}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
der
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x^2y,x- \sin y )
} {.}
Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{P=(1,0)}{} regulär ist und bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
von $\varphi |_U$ in $\varphi(P)$, wobei $U$ eine offene Umgebung von $P$ sei
\zusatzklammer {die nicht explizit angegeben werden muss} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{U,V,W}{}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und seien
\mathkor {} {\varphi:U \longrightarrow V} {und} {\psi:V \longrightarrow W} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Es sei $\varphi$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\psi$ regulär in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{\varphi(P)
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist dann
\mathl{\psi \circ \varphi}{} regulär in $P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Das \definitionsverweis {komplexe}{}{} Quadrieren \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} kann man reell als \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } { x+{ \mathrm i}y = (x,y)} {(x+ { \mathrm i} y)^2 = x^2-y^2 +2{ \mathrm i}xy = (x^2-y^2,2xy) } {,} schreiben. Untersuche $\varphi$ auf \definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{.} Auf welchen \zusatzklammer {möglichst großen} {} {} offenen Teilmengen ist $\varphi$ \definitionsverweis {umkehrbar}{}{?}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Lemma 49.3 ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.
}
{} {(Tipp: Man denke daran, wie man flach auf einen steilen Berg kommt.)}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine
\definitionsverweis {Verschiebung}{}{}
ist, also von der Art
\mathl{P \mapsto P+v}{} mit einem festen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
\mathl{G \subseteq V_1}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {V_2
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{U \subseteq G}{} eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt
\mathl{P \in U}{} das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist. Zeige, dass dann das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} offen in $V_2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x+y,xy)
} {.}
\aufzaehlungvier{Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
von $\varphi$.
}{Zeige, dass in den
\definitionsverweis {kritischen Punkten}{}{} die Abbildung $\varphi$ nicht
\definitionsverweis {lokal invertierbar}{}{}
ist, dass also die Einschränkung von $\varphi$ in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
}{Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar
\mathl{(s,p)}{} als $(s,p)=(x+y,xy)$ schreiben?
}{Ist ein reelles Zahlenpaar
\mathl{(x,y)}{} bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe
\mathl{x+y}{} und das Produkt
\mathl{xy}{} festgelegt?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {(x,y,z)} {(x+y+z,xy+xz+yz,xyz)
} {.}
Zeige, dass ein Punkt
\mathl{(x,y,z)}{} genau dann ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn in
\mathl{(x,y,z)}{} zwei Zahlen doppelt vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(x^2-y^2z,y+ \sin xz ) } {.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} von $\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere \zusatzklammer {mindestens einen} {} {} Punkte enthält.
}
{} {}
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