Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 64/latex
\setcounter{section}{64}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Maßtheorie}{}{} auf den \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ \anfuehrung{nahezu}{} äquivalent ist zur Theorie der \definitionsverweis {Reihen}{}{} mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur \definitionsverweis {Konvergenz der Reihe}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} zu einem \definitionsverweis {Dirac-Maß}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{W =[0,1[^n}{} der halboffene Einheitswürfel im $\R^n$. Zeige, dass für jedes
\mathl{k \in \N_+}{} und das zugehörige
\definitionsverweis {Gittermaß}{}{} $\mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } }$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } } (W)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \Q \cap [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige
\definitionsverweis {Gittermaß}{}{}
$\mu_{ \epsilon }$. Zeige, dass
\mathdisp {\lim_{k \rightarrow \infty} \mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } }(T)} { }
existiert, dass aber
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, \mu_{ \epsilon }(T)} { }
nicht existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man zeige durch ein Beispiel, dass die \anfuehrung{Schrumpfungsformel}{} aus Lemma 64.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} eines \definitionsverweis {Maßes}{}{} unter einer \definitionsverweis {messbaren Abbildung}{}{} in der Tat ein Maß ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{(M, {\mathcal A })}{,}
\mathl{(N, {\mathcal B })}{} und
\mathl{(S, {\mathcal C })}{}
\definitionsverweis {Messräume}{}{} und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {} und \maabbdisp {\psi} {N} {S
} {}
\definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{.} Es sei $\mu$ ein
\definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$. Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Bildmaße}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\psi \circ \varphi)_*\mu
}
{ =} { \psi_*( \varphi_*\mu)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {Messräume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{\delta_x}{} das im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konzentrierte
\definitionsverweis {Dirac-Maß}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_*(\delta_x)
}
{ = }{ \delta_{\varphi(x)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} zum \definitionsverweis {Gittermaß}{}{} zum Gitterabstand $\epsilon >0$ im $\R^n$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,} $(N, {\mathcal B } )$ ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{} und
\mathl{C}{} die Menge der
\definitionsverweis {messbaren Abbildungen}{}{} von
\mathkor {} {M} {nach} {N} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathdisp {f \sim g, \text{ falls } \mu ( { \left\{ x \in M \mid f(x) \neq g(x) \right\} } ) = 0} { }
\zusatzklammer {dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien} {} {.}
Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, \mu_{ \epsilon }(S)
}
{ =} { \pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\mu_{ \epsilon }$ das
\definitionsverweis {Gittermaß}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
}
{} {(Man denke an das Riemann-Integral.)}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
$\sigma$-\definitionsverweis {endlichen Maßraum
}{}{}
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} und eine
\definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
in einen
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
$N$ derart, dass das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
$\varphi_*\mu$ nicht $\sigma$-endlich ist.
}
{} {}
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