Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorlesung 64

Gittermaße

Als weiteres diskretes Maß besprechen wir Gittermaße.

Definition

Es sei ${}\epsilon >0$ Die Menge

{}\Gamma _{\epsilon }={\left\{\epsilon (a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,

nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand ${}\epsilon$ . Das durch

{}\mu _{\epsilon }(T)=\epsilon ^{n}\cdot {\#\left(T\cap \Gamma _{\epsilon }\right)}\,

für ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand ${}\epsilon$ .

Ausschöpfungseigenschaften

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei ${}T=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ . Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von ${}T$ bildet (oder ${}T$ ausschöpft), und schreibt dafür ${}T_{n}\uparrow T$ .

Der ${}\mathbb {R} ^{k}$ wird beispielsweise durch die Bälle ${}B\left(0,n\right)$ oder die Würfel ${}[-n,n]^{k}$ ausgeschöpft.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ . Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von ${}T$ bildet (oder gegen ${}T$ schrumpft), und schreibt dafür ${}T_{n}\downarrow T$ .

Beispielsweise ist eine reelle Intervallschachtelung eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.

Bei einer ${}\sigma$ -Algebra ${}{\mathcal {A}}$ gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen ${}T_{n}$ auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu ${}{\mathcal {A}}$ . Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.

Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und ${}\mu$ ein Prämaß auf ${}{\mathcal {P}}$ .

Dann gelten folgende Aussagen.

Es ist ${}\mu (\emptyset )=0$ .

Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt ${}\mu (T)=\mu (S)+\mu (T\setminus S)$ . Insbesondere ist ein Prämaß monoton.

Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ gilt ${}\mu (T\cup S)=\mu (S)+\mu (T)-\mu (S\cap T)$ .

Seien ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , und ${}T$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}T\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ ^[1] Dann gilt
${}\mu (T)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (T_{n})\,.$

Es sei ${}T_{n}\uparrow T$ eine Ausschöpfung in ${}{\mathcal {P}}$ . Dann ist
${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

wobei diese Folge monoton wachsend ist.

Es sei ${}T_{n}\downarrow T$ eine Schrumpfung in ${}{\mathcal {P}}$ und sei ${}\mu (T_{0})<\infty$ vorausgesetzt. Dann ist
${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

wobei diese Folge monoton fallend ist.

Beweis

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als ${}0$ definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da ${}T$ die disjunkte Vereinigung aus ${}S$ und ${}T\setminus S$ ist.
(3) folgt daraus, dass ${}S\cup T$ die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen ${}S\setminus T,\,T\setminus S$ und ${}S\cap T$ ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben ${}S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=0}^{n-1}T_{i}\right)}$ . Dann gilt offensichtlich ${}\bigcup _{i=0}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=0}^{n}S_{i}$ für alle ${}n$ , wobei die Vereinigungen der ${}S_{i}$ jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt

{}{\begin{aligned}\mu (T)&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T\cap S_{n}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T\cap S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T_{n}\right)}.\end{aligned}}

(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen ${}T_{n}$ als disjunkte Vereinigung mittels ${}S_{0}=T_{0}$ und ${}S_{n}=T_{n}\setminus T_{n-1}$ . Damit ist

{}T_{n}=S_{0}\cup S_{1}\cup \ldots \cup S_{n}\,,

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt ${}\mu (T_{n})=\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})$ . Entsprechend gilt

{}T=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\,

und daher

{}\mu (T)=\mu {\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}=\sum _{i=0}^{\infty }\mu (S_{i})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,.

(6) Wir setzen ${}S_{0}=T_{0}\setminus T_{n}$ . Da ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine absteigende Folge ist, ist ${}S_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine aufsteigende Folge, und zwar gilt

{}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=T_{0}\setminus {\left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}=T_{0}\setminus T\,.

Daher gilt

{}\mu {\left(T_{0}\setminus T\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }(\mu {\left(T_{0})-\mu (T_{n})\right)}=\mu (T_{0})-\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,

nach Teil (5). Somit ist (da ${}\mu (T_{0})<\infty$ ist)

{}\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})=\mu (T_{0})-\mu (T_{0}\setminus T)=\mu (T)\,.

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Definition

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ ,

\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

ein Prämaß auf ${}M$ . Dann heißt ${}\mu$ endlich, wenn

{}\mu (T)<\infty \,

für alle ${}T\in {\mathcal {P}}$ ist.

Wenn die Gesamtmenge ${}M$ zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung ${}\mu (M)<\infty$ aufgrund der Monotonie.

Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der ${}\mathbb {R} ^{n}$ kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch die abzählbar vielen Kugeln ${}B\left(0,k\right)$ , ${}k\in \mathbb {N}$ , die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ ,

\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

ein Prämaß auf ${}M$ . Dann heißt ${}\mu$ ${}\sigma$ -endlich, wenn man ${}M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen ${}M_{i}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit

{}\mu (M_{i})<\infty \,

schreiben kann.

Der Eindeutigkeitssatz für Maße

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$ . Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ , die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit

{}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty \,.

Dann ist

${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

Beweis

Für jede messbare Menge ${}T\in {\mathcal {A}}$ ist ${}(T\cap M_{n})\uparrow T$ eine Ausschöpfung von ${}T$ , sodass es nach Lemma 64.4 (5) genügt, die Gleichheit

{}\mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\,

für alle ${}T\in {\mathcal {A}}$ und alle ${}n\in \mathbb {N}$ zu zeigen. Es sei ${}n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem

{}{\mathcal {D}}_{n}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\right\}}\,

und wir wollen zeigen, dass dies ganz ${}{\mathcal {A}}$ ist. Da ${}{\mathcal {E}}$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge ${}E\in {\mathcal {E}}$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ . Wir behaupten, dass ${}{\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System ist. Offenbar ist ${}M\in {\mathcal {D}}_{n}$ . Seien ${}S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehören. Dann ist

{}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left((T\setminus S)\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{1}(T\cap M_{n})-\mu _{1}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}(T\cap M_{n})-\mu _{2}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}((T\setminus S)\cap M_{n}),\end{aligned}}

sodass auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehört. Es sei schließlich ${}T_{i}$ , ${}i\in I$ , eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus ${}{\mathcal {D}}_{n}$ , und sei

{}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}\,.

Dann ist

{}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left(T\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left(\bigcup _{i\in I}(T_{i}\cap M_{n})\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{1}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{2}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(T\cap M_{n}\right)},\end{aligned}}

sodass auch ${}T$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehört.
Damit ist ${}{\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem ${}{\mathcal {E}}$ enthält. Nach Lemma 62.12 ist daher ${}{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {D}}_{n}$ , und es gilt Gleichheit.

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Bildmaße

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

\varphi \colon M\longrightarrow N

eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch

{}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,

definierte Maß auf ${}N$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$ . Es wird mit ${}\varphi _{*}\mu$ bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ , ${}(N,{\mathcal {B}})$ und ${}(S,{\mathcal {C}})$ Messräume und

\varphi \colon M\longrightarrow N

und

\psi \colon N\longrightarrow S

messbare Abbildungen. Es sei ${}\mu$ ein Maß auf ${}M$ .

Dann gilt für die Bildmaße

${}(\psi \circ \varphi )_{*}\mu =\psi _{*}(\varphi _{*}\mu )\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 64.8.

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Definition

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ Maßräume. Eine messbare Abbildung

\varphi \colon M\longrightarrow N

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ die Beziehung

{}\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,

gilt.

Eine messbare Abbildung ${}\varphi \colon (M,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow (N,{\mathcal {B}},\nu )$ ist genau dann maßtreu, wenn ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$ ist.

Produkt von topologischen Räumen

Definition

Unter dem Produkt der topologischen Räume ${}X$ und ${}Y$ versteht man die Produktmenge ${}X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq X\times Y$ genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${}U\times V$ mit offenen Mengen ${}U\subseteq X$ und ${}V\subseteq Y$ schreiben kann.