Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorlesung 64

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Ein Gittermaß weist nur den Gitterpunkten ein positives Maß zu. Wenn der Gitterabstand hinreichend klein ist, liefert das Gittermaß eine gute Approximation für den Inhalt für Figuren, die nicht allzu kompliziert sind.




Gittermaße

Als weiteres diskretes Maß besprechen wir Gittermaße.


Definition  

Sei . Die Menge

nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand . Das durch

für definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand .

Pointillismus: Der Flächeninhalt (auf dem Bild) der hellgrünen Rasenfläche entspricht in etwa der Anzahl der hellgrünen Farbtupfer, der Anzahl der hellgrünen Pixels und der Anzahl der hellgrünen Synapsen.




Ausschöpfungseigenschaften

Definition  

Sei eine Menge und sei , , eine Folge von Teilmengen in mit für alle . Es sei . Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von bildet (oder ausschöpft), und schreibt dafür .

Der wird beispielsweise durch die Bälle oder die Würfel ausgeschöpft.


Definition  

Sei eine Menge und sei , , eine Folge von Teilmengen in mit für alle . Es sei . Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von bildet (oder gegen schrumpft), und schreibt dafür .

Beispielsweise ist eine Intervallschachtelung eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.

Bei einer -Algebra gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu . Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.

Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.



Lemma  

Es sei eine Menge, ein Präring auf und ein Prämaß auf .

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist .
  2. Für Mengen mit gilt . Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
  3. Für Mengen gilt .
  4. Seien , , und aus mit .[1] Dann gilt
  5. Sei eine Ausschöpfung in . Dann ist

    wobei diese Folge monoton wachsend ist.

  6. Sei eine Schrumpfung in und sei vorausgesetzt. Dann ist

    wobei diese Folge monoton fallend ist.

Beweis  

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da die disjunkte Vereinigung aus und ist.
(3) folgt daraus, dass die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen und ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben . Dann gilt offensichtlich für alle , wobei die Vereinigungen der jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt


(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen als disjunkte Vereinigung mittels und . Damit ist

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt . Entsprechend gilt

und daher


(6) Wir setzen . Da , , eine absteigende Folge ist, ist , , eine aufsteigende Folge, und zwar gilt

Daher gilt

nach Teil (5). Somit ist (da ist)



Definition  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf . Dann heißt endlich, wenn

für alle ist.

Wenn die Gesamtmenge zu gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung aufgrund der Monotonie.

Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den durch die abzählbar vielen Kugeln , , die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert.


Definition  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf . Dann heißt -endlich, wenn man als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen aus mit

schreiben kann.



Der Eindeutigkeitssatz für Maße



Satz  

Es sei ein Messraum und es sei ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für . Es seien und zwei Maße auf , die auf übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung mit und mit .

Dann ist

Beweis  

Für jede messbare Menge ist eine Ausschöpfung von , so dass es nach Lemma 64.4  (5) genügt, die Gleichheit

für alle und alle zu zeigen. Sei fixiert. Wir betrachten das Mengensystem

und wir wollen zeigen, dass dies ganz ist. Da durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge zu . Wir behaupten, dass ein Dynkin-System ist. Offenbar ist . Seien Teilmengen, die zu gehören. Dann ist

so dass auch zu gehört. Sei schließlich , , eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus , und sei . Dann ist

so dass auch zu gehört.
Damit ist ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem enthält. Nach Lemma 62.10 ist daher , und es gilt Gleichheit.




Bildmaße

Definition  

Es sei ein Maßraum, ein Messraum und

eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch

definierte Maß auf das Bildmaß von unter . Es wird mit bezeichnet.



Lemma

Es seien , und Messräume und

und

messbare Abbildungen. Es sei ein Maß auf .

Dann gilt für die Bildmaße

Beweis

Siehe Aufgabe 64.8.



Definition  

Es seien und Maßräume. Eine messbare Abbildung

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge die Beziehung
gilt.

Eine messbare Abbildung ist genau dann maßtreu, wenn das Bildmaß von unter ist.



Produkt von topologischen Räumen
Eine Zylinderoberfläche ist der Produktraum aus einer Kreislinie und einem Intervall.

Definition  

Unter dem Produkt der topologischen Räume und versteht man die Produktmenge zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form mit offenen Mengen und schreiben kann.



Fußnoten
  1. Man sagt, dass die , , eine Überpflasterung von bilden.


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