Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 79/latex

\setcounter{section}{79}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} eine Karte \zusatzklammer {also
\mathl{U \subseteq M}{} und
\mathl{V \subseteq \R^n}{} offen} {} {.} Zeige, dass $\alpha$ ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine Abbildung. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{} von $M$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, wenn alle Einschränkungen
\mathl{\varphi_i= \varphi {{|}}_{U_i}}{} differenzierbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu
\mathl{m \leq n}{} die Einbettung des Unterraumes
\mathl{\R^m}{} in den $\R^n$, die durch
\mathl{(x_1 , \ldots , x_m) \mapsto (x_1 , \ldots , x_m,0 , \ldots , 0)}{} gegeben ist, \definitionsverweis {beliebig oft differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {abgeschlossenen Teilmenge}{}{}
\mathl{M\subseteq \R}{,} die keine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} von $\R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei \definitionsverweis {disjunkte}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{} des $\R^2$. Zeige, dass deren \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{M \cup N}{} ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_f }
{ \subseteq }{ \R^{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^{n+1}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\pi} {TM} {M } {} das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{.} Zeige, dass diese Projektionsabbildung \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und es sei \maabb {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{8 (3+3+2)}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y,u,v) \in \R^4 \mid ux^m+vy^n = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^4$ ist.

b) Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {M} {\R^2 } {(x,y,u,v)} {(x,y) } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.

c) Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{10 (2+3+5)}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^2 } {x} {(x^2,x^3) } {.}

a) Zeige, dass diese Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

b) Zeige, dass $\varphi$ nicht in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.

c) Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist, aber keine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {\varphi} {G} {\R^m } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} und $M$ die \definitionsverweis {Faser}{}{} über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} in jedem Punkt dieser Faser \definitionsverweis {surjektiv}{}{} sei. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} im Sinne von Definition 51.5 mit dem \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ im Punkt $P$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\pi} {TM} {M } {} das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{.} Zeige, dass
\mathl{TM}{} selbst in natürlicher Weise eine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}