Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 84/latex
\setcounter{section}{84}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Überdeckung aus
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{,}
wobei $I$
\definitionsverweis {abzählbar}{}{}
sei. Zeige folgende Aussagen.
a) Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann eine
\definitionsverweis {Borelmenge}{}{,}
wenn
\mathl{T \cap U_i}{} eine Borelmenge ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endliches}{}{}
\definitionsverweis {Maß}{}{}
$\mu$ ist durch die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_i
}
{ = }{ \mu {{|}}_{U_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig bestimmt.
c) Es sei für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $\sigma$-endliches Maß $\mu_i$ auf $U_i$ gegeben. Für jedes Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_i {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ =} {\mu_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\sigma$-endliches Maß auf $X$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu {{|}}_{U_i}
}
{ = }{ \mu_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das zu einer \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {positiven Volumenform}{}{} auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} in Definition 84.3 eingeführte Volumenmaß ein $\sigma$-\definitionsverweis {endliches Maß}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} {dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n
}
{ =} { e_1^* \wedge \ldots \wedge e_n^*
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Standard-Volumenform auf dem $\R^n$. Zeige, dass für jede
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mathl{T \subseteq \R^n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\int_{ T } \omega
}
{ =} { \int_{ T } \, d \lambda^n
}
{ =} { \lambda^n(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {positiven Volumenform}{}{}
$\omega$. Es sei
\mathl{T \subseteq M}{}
\definitionsverweis {messbar}{}{}
und
\mathl{N \subseteq M}{} eine
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\int_{ T } \omega
}
{ =} {
\int_{ T \setminus N } \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis der Topologie}{}{}
und es seien
\mathkor {} {\omega_1} {und} {\omega_2} {}
\definitionsverweis {positive Volumenformen}{}{}
auf $M$. Zeige, dass für jede
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mathl{T \subseteq M}{} und
\mathl{a,b \in \R_+}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\int_{ T } (a \omega_1 + b \omega_2)
}
{ =} {a
\int_{ T } \omega_1+ b
\int_{ T } \omega_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{.} Zeige, wie man unter Bezug auf Karten \anfuehrung{Nullmengen}{} von $M$ erklären kann, ohne dass ein \definitionsverweis {Maß}{}{} gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} gegeben ist, diese Nullmengen auch \definitionsverweis {Nullmengen}{}{} im Sinne der Maßtheorie sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ 1 } ( M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine messbare Differentialform mit der
\definitionsverweis {zurückgezogenen Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*\omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ 1 } ( L )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\gamma} {I} {L
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\zusatzklammer {$I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}} {} {.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Wegintegrale}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \varphi^* \omega
}
{ =} { \int_{\varphi \circ \gamma} \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega
}
{ = }{ g(s)ds
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $\R$. Bestimme
\mathl{f^* \omega}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zu den folgenden \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
a)
\mathl{xdx +ydy}{,}
b)
\mathl{xdx -ydy}{,}
c)
\mathl{ydx +xdy}{,}
d)
\mathl{ydx -xdy}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{} \maabbeledisp {} {S^2} {S^2 } {(x,y,z)} {(-x,-y,-z) } {,} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit
\definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{.}
Es sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} auf $M$ und es sei $\mu$ das durch diese Volumenform definierte
\definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$. Zeige, dass dann jede
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} der Dimension
\mathl{\leq n-1}{} eine
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d,r,s
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2
} {t} {(t^r,t^s)
} {.}
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zur
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ x^ay^b dx +x^c y^d dy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^3
} {t} {( \cos t , \sin t, t )
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zur
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ (y-z^3) dx +x^2dy -xzdz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Begründe die einzelnen Gleichungen in der zweiten Gleichungskette im Beweis zu Lemma 84.2.
Gehe dabei folgendermaßen vor. \aufzaehlungvier{Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile
[[/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
}{Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort
{{:Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster}}
ein. }{Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Gleichung ein. }{Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite (die Sie von der Kursseite auf Wikiversity aus erreichen können) einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort
[[Ihr Benutzername/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]hinschreiben.
}
}
{} {}
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