Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 85/latex
\setcounter{section}{85}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was ist die
\definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} auf $V$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was besagt die in
Lemma 85.3 beschriebene Korrespondenz zwischen
\definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{}
und
$1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} in dieser Situation?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} $\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert $1$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei einer
\definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeit}{}{}
die
\definitionsverweis {Kartenabbildungen}{}{}
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
im Allgemeinen keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {T_P(\alpha)} {T_PU} {T_{\alpha(P)} V
} {}
induzieren
\zusatzklammer {wenn
\mathl{T_PU}{} mit
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_P}{} und
\mathl{T_{\alpha(P)} V= \R^n}{} mit dem Standardskalarprodukt versehen ist} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ definiert man zu einem Tangentialvektor
\mathl{v \in T_PM}{} die Norm durch
\mathl{\Vert {v} \Vert =\sqrt{ \left\langle v , v \right\rangle_P }}{.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {TM} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die Koordinaten des $\R^3$ mit $x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ S^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bilden die Einschränkungen von
\mathkor {} {dx} {und} {dy} {}
auf $S^2$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Kotangentialraums}{}{}
\mathl{T^*_PS^2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass
\mathl{\R \times \R_+}{} mit der durch die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R \times \R_+} {\R
} {(x,y)} {x^2+y^4
} {,}
gegebenen Bilinearform eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe für jeden Punkt
\mathl{P=(x,y,z)}{} der
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
$K$ eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
in
\mathl{T_PK \subset \R^3}{} an
\zusatzklammer {bezüglich der induzierten
\definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Im $\R^3$ sei das
\definitionsverweis {Ellipsoid}{}{}
\mathdisp {E= { \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+3z^2 \leq 5 \right\} }} { }
und die Ebene
\mathdisp {M= { \left\{ (x,y,z) \mid 7x-3y-2z = 2 \right\} }} { }
gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts
\mathl{M \cap E}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung 85.4 beschriebene Situation anhand einer Fläche im $\R^3$ veranschaulicht.
}
{} {}
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