Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/21/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 2 4 6 4 4 4 2 4 6 4 5 2 4 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Ein Polynom über einem Körper in einer Variablen .
  3. Die Exponentialreihe für .
  4. Der Arkussinus.
  5. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Nullstellensatz.
  2. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
  3. Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, alternierend zu sein (mit Erläuterung).


Aufgabe * (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?


Aufgabe * (2 Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
  3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
  4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Für eine Klausur verteilt Professor Knopfloch Nummern von bis an die Studenten. Diese sollen sich gemäß ihrer Nummer vor der Halle ungefähr mit einem Abstand (in Meter)

zum Eingang aufstellen, wobei der zur Verfügung stehende Platz in etwa ein Viertelkreissektor mit dem Eingang als Mittelpunkt ist.

  1. Ist die Abbildung

    injektiv?

  2. Ist die Abbildung

    surjektiv?

  3. Wie viele Leute sollen einen Abstand von Meter zum Eingang einnehmen?
  4. Welche Vorteile (Nachteile) hat die gewählte Abstandsfunktion gegenüber der Funktion


Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist genau dann streng wachsend, wenn streng wachsend ist.
  2. ist genau dann streng fallend, wenn streng fallend ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei . Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei und seien

zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Extrema und das Wachstumsverhalten der rationalen Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus . Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von sind?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

im Allgemeinen nicht gilt.