Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/26/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 4 1 2 5 4 3 2 4 7 3 4 4 1 6 4 1 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  3. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  4. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  5. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt .
  6. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
  2. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
  3. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang ins Freie kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

  1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
  2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?


Aufgabe * (1 Punkt)

Professor Knopfloch ist soeben aufgestanden und noch etwas schläfrig. Er setzt sich seine zwei Kontaklinsen in seine Augen. Beim Frühstück stellt er fest, dass in seinem linken Auge keine Kontaktlinse ist. Er ist sich sicher, dass keine Kontaktlinse verloren ging, jede Kontaklinse landete in einem seiner Augen. Ist die Abbildung, die die Zuordnung an diesem Morgen der Kontaktlinsen zu den Augen beschreibt, surjektiv, injektiv, bijektiv?


Aufgabe * (2 Punkte)

Ein Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Welches Angebot ist günstiger?


Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Für ist
  5. genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle die Formel


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

injektiv ist.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Skizziere die Graphen der Funktionen

    und

  2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.


Aufgabe * (7 Punkte)

Betrachte die Funktion

Finde derart, dass

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere den Unterschied zwischen dem Produkt und der Hintereinanderschaltung von zwei Funktionen

anhand typischer Beispiele. Wir ordnet sich die Kettenregel in diesen Fragekomplex ein?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz von Rolle.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Skizziere die Situation.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung von

auf .


Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme explizit die reellen -Matrizen der Form

mit


Aufgabe * (4 Punkte)

Linalg parallelogram area.png

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.





Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, abhängig von , den Rang der Matrix


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.