Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/33/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 2 2 2 4 4 1 4 6 4 3 6 1 4 4 3 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Die Gaußklammer einer reellen Zahl .
  3. Eine streng fallende Funktion .
  4. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  5. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  6. Die Determinante einer -Matrix .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
  2. Der Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .
  3. Der Determinantenmultiplikationssatz.


Aufgabe (3 Punkte)

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das an der Stelle den Wert und an der Stelle den Wert besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten ein normiertes Polynom vom Grad ,

mit . Zeige, dass es Zahlen mit

gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Kettenregel für differenzierbare Funktionen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (6 Punkte)

Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die -Matrizen über der Form

mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

zueinander ähnlich sind.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung