Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/59/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 1 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 5 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Das
\stichwort {abgeschlossene Intervall} {}
\mathl{[a,b]}{.}
}{Die
\stichwort {absolute Konvergenz} {}
einer reellen Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{.}
}{Die \stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.}
}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.
}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \cup M
}
{ =} { { \left\{ x \mid x \in L \text{ oder } x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
}{Das abgeschlossene Intervall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ = }{ { \left\{ x \in \R \mid x \geq a \text{ und } x \leq b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty \betrag { a_k }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}{Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $f$ auf jedes
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[a,b] \subseteq \R}{}
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{}
ist.
}{Die Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} { M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die inverse Matrix von $M$.
}{Das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_n - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt charakteristisches Polynom von $M$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.}{Die \stichwort {Substitutionsregel} {} zur Integration von stetigen Funktionen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Jedes nichtkonstante Polynom
\mathl{P \in{\mathbb C}[X]}{} über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.}{Es sei $I$ ein reelles Intervall,
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\mathl{(n+1)}{-}mal stetig differenzierbare Funktion und
\mathl{a \in I}{} ein innerer Punkt des Intervalls.
Es gelte
\mathdisp {f'(a)= f^{\prime \prime}(a) = \ldots = f^{(n)}(a)=0 \text{ und } f^{(n+1)}(a) \neq 0} { . }
Dann gelten folgende Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Wenn $n$ gerade ist, so besitzt $f$ in $a$ kein lokales Extremum.
}{Sei $n$ ungerade. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt $f$ in $a$ ein isoliertes Minimum.
}{Sei $n$ ungerade. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a)
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt $f$ in $a$ ein isoliertes Maximum.
}}{Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Es sei
\maabbdisp {g} {[a,b]} {I
} {}
stetig differenzierbar. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f ( s) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {f} }
}
{
\mathl{\neg p \wedge q}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \{a,b,c,d \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die durch die Tabelle
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\star$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ b }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ a }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ c }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ d }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ d }
\renewcommand{\azweixzwei}{ a }
\renewcommand{\azweixdrei}{ a }
\renewcommand{\azweixvier}{ a }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ d }
\renewcommand{\adreixzwei}{ b }
\renewcommand{\adreixdrei}{ b }
\renewcommand{\adreixvier}{ a }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ b }
\renewcommand{\avierxzwei}{ d }
\renewcommand{\avierxdrei}{ d }
\renewcommand{\avierxvier}{ c }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
gegebene Verknüpfung $\star$.
\aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {a \star ( b \star (c \star d))} { . }
} {Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \star (b \star (c \star d) )
}
{ =} { a \star (b \star a)
}
{ =} { a \star d
}
{ =} { d
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestätige die folgende Identität.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^7 + 17^3
}
{ =} { 71^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^7
}
{ =} { 128
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{17^3
}
{ =} { 289 \cdot 17
}
{ =} { 4913
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^7 +17^3
}
{ =} { 128 + 4913
}
{ =} { 5041
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 71 \cdot 71
}
{ =} { 5041
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die reellen
\definitionsverweis {Intervalle}{}{,}
die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 2x-5 }
}
{ <} { \betrag { 3x-4 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Für $x < { \frac{ 4 }{ 3 } } \leq { \frac{ 5 }{ 2 } }$ sind sowohl $3x-4$ als auch $2x-5$ negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{-2x}+5 }
{ <} {-3x+4}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu $x < -1$.
Für ${ \frac{ 4 }{ 3 } } \leq x < { \frac{ 5 }{ 2 } }$ ist $3x-4$ nichtnegativ und $2x-5$ negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{-2x}+5 }
{ <} {3x-4}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu
\mathl{5x > 9}{} und zu
\mathl{x > { \frac{ 9 }{ 5 } }}{.}
Für $x \geq { \frac{ 5 }{ 2 } }$ sind sowohl $3x-4$ als auch $2x-5$ nichtnegativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x-5 }
{ <} {3x-4}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{} und dies ist äquivalent zu
\mathl{x > -1}{.}
Als Lösungsmenge ergeben sich also die beiden offenen Intervalle
\mathl{]{-\infty}, -1[}{} und
\mathl{] { \frac{ 9 }{ 5 } } , \infty [}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei $P = X^n \in K[X]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von $P$ die Form
\mathbed {X^k} {}
{1 \leq k \leq n} {}
{} {} {} {,}
besitzen.
}
{
Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von $X^n$. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über $n$. Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich $n$ ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { (X+a) \cdot 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
haben, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzwingt. Es sei nun $n$ beliebig und eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ =} { P \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in normierte Polynome $P,Q$ vorgegeben. Da $0$ eine Nullstelle links ist, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach
Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist $X$ ein Teiler von $P$ und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n
}
{ =} { ( \tilde{ P} X) \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{K[X]}{} nullteilerfrei ist, folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^{n-1}
}
{ =} { \tilde{P} \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8 (2+3+3)}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ \leq} { \sqrt{7}
}
{ \leq} { { \frac{ 8 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 15
}
{ \leq} { 3^{\sqrt{7} }
}
{ \leq} { 19
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 17
}
{ \leq} { 3^{ \sqrt{7} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 25 }{ 4 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 28 }{ 4 } }
}
{ =} {7
}
{ =} { { \frac{ 63 }{ 9 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} { { \frac{ 64 }{ 9 } }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } \right) }^2
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
ist dies richtig.
}{Nach Teil (1) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ \leq} { \sqrt{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^{ \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ \leq} { 3^{ \sqrt{7} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 15^2
}
{ =} { 225
}
{ \leq} { 243
}
{ =} { 3^5
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 15
}
{ \leq} { 3^{ \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 15
}
{ \leq} { 3^{ \sqrt{7} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Teil (1) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{7}
}
{ \leq} { { \frac{ 8 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^{ \sqrt{7} }
}
{ \leq} { 3^{ \frac{ 8 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^8
}
{ =} { 6561
}
{ \leq} { 6859
}
{ =} { 19^3
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^{ \frac{ 8 }{ 3 } }
}
{ \leq} { 19
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^{ \sqrt{7} }
}
{ \leq} { 19
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}{Zunächst ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 13 }{ 5 } }
}
{ \leq} { \sqrt{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 13 }{ 5 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 169 }{ 25 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 175 }{ 25 } }
}
{ =} { 7
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^{ \frac{ 13 }{ 5 } }
}
{ \leq} { 3^{ \sqrt{7} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{17^5
}
{ =} { 1 419 857
}
{ \leq} { 1 594323
}
{ =} { 81 \cdot 81 \cdot 81 \cdot 3
}
{ =} { 3^{13}
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 17
}
{ \leq} { 3^{ \frac{ 5 }{ 13 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 17
}
{ \leq} { 3^{ \sqrt{7} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{x_n}{} eine gegen $x$
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\N} {\N
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{.}
Zeige, dass auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \defeq} { x_{\varphi( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Folge gegen $x$ konvergiert.
}
{
Es sei
\mathl{\epsilon >0}{} vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Ausgangsfolge gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { x_n -x }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Das Urbild von
\mathl{\{0,1 , \ldots , n_0-1\}}{} unter der bijektiven Abbildung $\varphi$ ist endlich. Es sei
\mathl{m \in \N}{} eine Zahl, die größer als all diese Zahlen ist. Dann gilt für
\mathl{n \geq m}{} die Beziehung
\mathl{\varphi(n) \geq n_0}{,} und somit ist für diese $n$ auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { y_n -x }
}
{ =} {\betrag { x_{\varphi(n)} -x }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.
}
{Reelle Sinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
}
{
Wir betrachten den Differenzenquotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{f^{-1} (y) - f^{-1} (b) }{y-b}
}
{ =} { \frac{f^{-1} (y) -a }{y-b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und müssen zeigen, dass der Limes für
\mathl{y \rightarrow b}{} existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in
\mathl{E \setminus \{b\}}{,} die gegen $b$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Nach
Satz 11.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist $f^{-1}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq }{ f^{-1}(y_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ f^{-1}(y_n) -a }{ y_n - b }
}
{ =} { \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ x_n -a }{ f(x_n) - f(a) }
}
{ =} { { \left( \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ f(x_n) - f(a) }{x_n -a} \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf
Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (5)
beruht.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} { \R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Bestimme die Ableitung der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \defeq} { { \frac{ f(f(x)) }{ f(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{g'(x)
}
{ =} { { \frac{ ( f(f(x)))' \cdot f(x) - f(f(x)) \cdot f'(x) }{ f^2(x) } }
}
{ =} { { \frac{ f' (f(x)) \cdot f'(x) \cdot f(x) - f(f(x)) \cdot f'(x) }{ f^2(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x }{ x+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ { \frac{ y }{ y+2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ \defeq }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $h$
\zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.}
}{Berechne die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
}{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der
Kettenregel.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ h(x)
}
{ =} { g(f(x))
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ x }{ x+1 } } }{ { \frac{ x }{ x+1 } } +2 } }
}
{ =} { { \frac{ x }{ x +2(x+1) } }
}
{ =} { { \frac{ x }{ 3x +2 } }
}
}
{}
{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h'(x)
}
{ =} { { \frac{ 3x+2 -3x }{ (3x +2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ (3x +2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 9x^2 +12x +4 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ x+1 -x }{ (x +1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (x +1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(y)
}
{ =} { { \frac{ y+2 -y }{ (y +2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ (y +2)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Ableitung von $h$ mit Hilfe der Kettenregel ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{h'(x)
}
{ =} { g'(f(x)) \cdot f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ { \left( { \frac{ x }{ x+1 } } +2 \right) }^2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ (x +1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ (x +2(x+1))^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ (3 x +2)^2 } }
}
}
{}
{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \sqrt{x^3-x+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das Taylorpolynom zu $f$ vom Grad $2$ im Entwicklungspunkt $2$.
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \sqrt{x^3-x+2}
}
{ =} { { \left( x^3-x+2 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(2)
}
{ = }{ \sqrt{8}
}
{ = }{ 2 \sqrt{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot { \left( 3x^2-1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2 { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(2)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } 8^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot 11
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 2 \cdot 8^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } } }
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 4 \sqrt{2} } }
}
{ =} { { \frac{ 11 \sqrt{2} }{ 8 } }
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime } (x)
}
{ =} { 3 x { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } - { \frac{ 3 }{ 4 } } x^2 { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } { \left( 3x^2-1 \right) } + { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } { \left( 3x^2-1 \right) }
}
{ =} { 3 x { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } + { \frac{ -3 x^2 +1 }{ 4 } } { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } { \left( 3x^2-1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und insbesondere
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime }(2)
}
{ =} { 6 \cdot 8^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } - { \frac{ 11 }{ 4 } } \cdot 8^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } \cdot 11
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ \sqrt{2} } } - { \frac{ 121 }{ 4 \cdot 8^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } } }
}
{ =} { { \frac{ 3 \sqrt{2} }{ 2 } } - { \frac{ 121 }{ 64 \cdot \sqrt{ 2 } } }
}
{ =} { { \frac{ 192 \sqrt{2} }{ 128 } } - { \frac{ 121 \sqrt{2} }{ 128 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 71 \sqrt{2} }{ 128 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist das Taylorpolynom vom Grad $2$ im Entwicklungspunkt $2$ gleich
\mathdisp {2 \sqrt{2} + { \frac{ 11 \sqrt{2} }{ 8 } } (x-2) + { \frac{ 71 \sqrt{2} }{ 256 } } (x-2)^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.
}
{
Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von $f$, die aufgrund von
Korollar 19.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
existiert. Nach der
Kettenregel
hat die zusammengesetzte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t \mapsto F(g(t))
}
{ =} { (F \circ g)(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(g(t)) g'(t)
}
{ = }{ f(g(t))g'(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gilt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t
}
{ =} { (F \circ g) | _{ a } ^{ b }
}
{ =} { F(g(b)) - F(g(a))
}
{ =} { F | _{ g(a) } ^{ g(b) }
}
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f(s) \, d s }
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}
{
Durch Umnummerieren kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{x_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreichen. Es sei $G$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax_1 + \sum_{i = 2}^n a_ix_i
}
{ =} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a \neq 0}{}} {} {}
und $H$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ cx_1 + \sum_{i = 2}^n c_ix_i
}
{ =} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann hat die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H'
}
{ =} {H - { \frac{ c }{ a } } G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 2}^n { \left( c_i- { \frac{ c }{ a } } a_i \right) } x_i
}
{ =} { d -{ \frac{ c }{ a } } b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
in der $x_1$ nicht mehr vorkommt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{H' + { \frac{ c }{ a } } G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Gleichungssysteme
\definitionsverweis {äquivalent}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U, V
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Mat}_{ 3 } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { { \left\{ M = { \left( a_{ij} \right) } \in \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) \mid a_{31} = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { { \left\{ M = { \left( a_{ij} \right) } \in \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) \mid a_{21} = 0 \text{ und } a_{31} = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
\aufzaehlungzwei {Ist $U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
} {Ist $V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {$U$ ist nicht abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation, da beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 1 & * & * \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 1 & * & * \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\1 & * & * \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
} {$V$ ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix} \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, da, wenn man die zweite oder dritte Zeile links mit der ersten Spalte rechts multipliziert, in jedem Summanden eine Null beteiligt ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {\Q^3} {\Q^2
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(e_1)
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \\7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(e_2)
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(e_3)
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-11 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathl{\varphi { \left( \begin{pmatrix} 3 \\-4\\ 2 \end{pmatrix} \right) }}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( \begin{pmatrix} 3 \\-4\\ 2 \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( 3e_1-4e_2 +2e_3 \right) }
}
{ =} { 3 \varphi (e_1) -4 \varphi(e_2) + 2 \varphi(e_3)
}
{ =} { 3 { \left( \begin{pmatrix} 5 \\7 \end{pmatrix} \right) } -4 { \left( \begin{pmatrix} 3 \\-3 \end{pmatrix} \right) } + 2 { \left( \begin{pmatrix} 4 \\-11 \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3\cdot 5- 4 \cdot 3 +2 \cdot 4 \\3 \cdot 7 -4 \cdot (-3 )+ 2 \cdot (-11) \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \begin{pmatrix} 11 \\11 \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{\chi_{ \varphi } \in \R[X]}{} das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem reellen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen $\varphi^n$ bestimmen?
}
{
Es sei $M$ eine beschreibende Matrix. Diese können wir auch über den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ auffassen, dadurch ändert sich weder das charakteristische Polynom noch die Matrizenmultiplikation. Wir können also über ${\mathbb C}$ arbeiten. Über ${\mathbb C}$ ist die Matrix
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,}
d.h. es gibt eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix obere Dreiecksgestalt hat, sagen wir
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & \lambda_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{ d-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_{ d } \end{pmatrix}} { . }
Das charakteristische Polynom hat somit die Form
\mathdisp {{ \left( X- \lambda_1 \right) } \cdots { \left( X- \lambda_d \right) }} { . }
Die $n$-te Potenz dieser Matrix hat die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_1^n & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & \lambda_2^n & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{d-1}^n & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_{d}^n \end{pmatrix}} { . }
Daher ist deren charakteristisches Polynom gleich
\mathdisp {{ \left( X- \lambda_1^n \right) } \cdots { \left( X- \lambda_d^n \right) }} { . }
Das charakteristische Polynom der Potenzen hängt also nur vom charakteristischen Polynom der Ausgangsmatrix ab.
}