Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/59/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	2	3	4	8	5	1	5	2	4	4	4	4	2	2	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Das abgeschlossene Intervall ${}[a,b]$.
3. Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

5. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper ${}K$.
6. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.

Lösung

1. Die Menge

   ${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

   heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

2. Das abgeschlossene Intervall ist ${}[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$.
3. Die Reihe

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

   $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

   konvergiert.

4. Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
5. Die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

   ${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

   heißt die inverse Matrix von ${}M$.

6. Das Polynom

   ${}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$

   heißt charakteristisches Polynom von ${}M$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
2. Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Lösung

1. Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
2. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine ${}(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

   $f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.$

   Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Wenn ${}n$ gerade ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ kein lokales Extremum.
   2. Sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)>0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes Minimum.
   3. Sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)<0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes Maximum.
3. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Es sei

   $g\colon [a,b]\longrightarrow I$

   stetig differenzierbar. Dann gilt

   ${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w f w f f f w w f f f

Lösung

${}\neg p\wedge q$.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}d$
${}b$	${}d$	${}a$	${}a$	${}a$
${}c$	${}d$	${}b$	${}b$	${}a$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}c$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $a\star (b\star (c\star d)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Lösung

1. Es ist

   ${}a\star (b\star (c\star d))=a\star (b\star a)=a\star d=d\,.$

2. Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

Lösung

Es ist

${}2^{7}=128\,$

und

${}17^{3}=289\cdot 17=4913\,$

und somit

${}2^{7}+17^{3}=128+4913=5041\,.$

Andererseits ist

${}71\cdot 71=5041\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.

${}\vert {2x-5}\vert <\vert {3x-4}\vert \,.$

Lösung

Für ${}x<{\frac {4}{3}}\leq {\frac {5}{2}}$ sind sowohl ${}3x-4$ als auch ${}2x-5$ negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

${}{-2x}+5<-3x+4\,.$

Dies ist äquivalent zu ${}x<-1$.

Für ${}{\frac {4}{3}}\leq x<{\frac {5}{2}}$ ist ${}3x-4$ nichtnegativ und ${}2x-5$ negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

${}{-2x}+5<3x-4\,.$

Dies ist äquivalent zu ${}5x>9$ und zu ${}x>{\frac {9}{5}}$.

Für ${}x\geq {\frac {5}{2}}$ sind sowohl ${}3x-4$ als auch ${}2x-5$ nichtnegativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

${}2x-5<3x-4\,$

und dies ist äquivalent zu ${}x>-1$.

Als Lösungsmenge ergeben sich also die beiden offenen Intervalle ${}]{-\infty },-1[$ und ${}]{\frac {9}{5}},\infty [$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P=X^{n}\in K[X]$ mit ${}n\geq 1$. Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von ${}P$ die Form ${}X^{k}$, ${}1\leq k\leq n$, besitzen.

Lösung

Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von ${}X^{n}$. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über ${}n$. Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich ${}n$ ist. Sei ${}n=1$. Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form

${}X=(X+a)\cdot 1\,$

haben, was ${}a=0$ erzwingt. Es sei nun ${}n$ beliebig und eine Faktorzerlegung

${}X^{n}=P\cdot Q\,$

in normierte Polynome ${}P,Q$ vorgegeben. Da ${}0$ eine Nullstelle links ist, muss ${}P(0)=0$ oder ${}Q(0)=0$ sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ist ${}X$ ein Teiler von ${}P$ und somit ist

${}X^{n}=({\tilde {P}}X)\cdot Q\,.$

Da ${}K[X]$ nullteilerfrei ist, folgt

${}X^{n-1}={\tilde {P}}\cdot Q\,$

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.

Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

1. Zeige die Abschätzungen

   ${}{\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,.$

2. Zeige die Abschätzungen

   ${}15\leq 3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.$

3. Zeige die Abschätzung

   ${}17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

Lösung

1. Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen

   ${}{\left({\frac {5}{2}}\right)}^{2}={\frac {25}{4}}\leq {\frac {28}{4}}=7={\frac {63}{9}}\leq {\frac {64}{9}}={\left({\frac {8}{3}}\right)}^{2}\,$

   ist dies richtig.

2. Nach Teil (1) ist

   ${}{\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\,$

   und damit ist

   ${}3^{\frac {5}{2}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

   Wegen

   ${}15^{2}=225\leq 243=3^{5}\,$

   ist

   ${}15\leq 3^{\frac {5}{2}}\,$

   und damit

   ${}15\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

   Nach Teil (1) ist

   ${}{\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,$

   und damit ist

   ${}3^{\sqrt {7}}\leq 3^{\frac {8}{3}}\,.$

   Wegen

   ${}3^{8}=6561\leq 6859=19^{3}\,$

   ist

   ${}3^{\frac {8}{3}}\leq 19\,$

   und damit

   ${}3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.$

3. Zunächst ist

   ${}{\frac {13}{5}}\leq {\sqrt {7}}\,,$

   da

   ${}{\left({\frac {13}{5}}\right)}^{2}={\frac {169}{25}}\leq {\frac {175}{25}}=7\,$

   ist. Somit gilt

   ${}3^{\frac {13}{5}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

   Wegen

   ${}17^{5}=1419857\leq 1594323=81\cdot 81\cdot 81\cdot 3=3^{13}\,$

   ist

   ${}17\leq 3^{\frac {5}{13}}\,$

   und damit auch

   ${}17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}x_{n}$ eine gegen ${}x$ konvergente reelle Folge. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch

${}y_{n}:=x_{\varphi (n)}\,$

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Lösung

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Ausgangsfolge gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Das Urbild von ${}\{0,1,\ldots ,n_{0}-1\}$ unter der bijektiven Abbildung ${}\varphi$ ist endlich. Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ eine Zahl, die größer als all diese Zahlen ist. Dann gilt für ${}n\geq m$ die Beziehung ${}\varphi (n)\geq n_{0}$, und somit ist für diese ${}n$ auch

${}\vert {y_{n}-x}\vert =\vert {x_{\varphi (n)}-x}\vert \leq \epsilon \,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.

Lösung Reelle Sinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotienten

${}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$

und müssen zeigen, dass der Limes für ${}y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}E\setminus \{b\}$, die gegen ${}b$ konvergiert. Nach Satz 11.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ist ${}f^{-1}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern ${}x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$ gegen ${}a$. Wegen der Bijektivität ist ${}x_{n}\neq a$ für alle ${}n$. Damit ist

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (5) beruht.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Bestimme die Ableitung der Funktion

${}g(x):={\frac {f(f(x))}{f(x)}}\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}g'(x)&={\frac {(f(f(x)))'\cdot f(x)-f(f(x))\cdot f'(x)}{f^{2}(x)}}\\&={\frac {f'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(x)-f(f(x))\cdot f'(x)}{f^{2}(x)}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei ${}f(x)={\frac {x}{x+1}}$ und ${}g(y)={\frac {y}{y+2}}$. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung ${}h(x):=g(f(x))$.

1. Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}h(x)&=g(f(x))\\&={\frac {\frac {x}{x+1}}{{\frac {x}{x+1}}+2}}\\&={\frac {x}{x+2(x+1)}}\\&={\frac {x}{3x+2}}.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}h'(x)={\frac {3x+2-3x}{(3x+2)^{2}}}={\frac {2}{(3x+2)^{2}}}={\frac {2}{9x^{2}+12x+4}}\,.$

3. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {x+1-x}{(x+1)^{2}}}={\frac {1}{(x+1)^{2}}}\,$

   und

   ${}g'(y)={\frac {y+2-y}{(y+2)^{2}}}={\frac {2}{(y+2)^{2}}}\,.$

   Die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel ist

   ${}{\begin{aligned}h'(x)&=g'(f(x))\cdot f'(x)\\&={\frac {2}{{\left({\frac {x}{x+1}}+2\right)}^{2}}}\cdot {\frac {1}{(x+1)^{2}}}\\&={\frac {2}{(x+2(x+1))^{2}}}\\&={\frac {2}{(3x+2)^{2}}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)={\sqrt {x^{3}-x+2}}\,.$

Bestimme das Taylorpolynom zu ${}f$ vom Grad ${}2$ im Entwicklungspunkt ${}2$.

Lösung

Wir schreiben

${}f(x)={\sqrt {x^{3}-x+2}}={\left(x^{3}-x+2\right)}^{\frac {1}{2}}\,,$

es ist ${}f(2)={\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}$. Es ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {1}{2}}{\left(x^{3}-x+2\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\left(3x^{2}-1\right)}\\&={\frac {3}{2}}x^{2}{\left(x^{3}-x+2\right)}^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}{\left(x^{3}-x+2\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}$

und insbesondere

${}f'(2)={\frac {1}{2}}8^{-{\frac {1}{2}}}\cdot 11={\frac {11}{2\cdot 8^{\frac {1}{2}}}}={\frac {11}{4{\sqrt {2}}}}={\frac {11{\sqrt {2}}}{8}}\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=3x{\left(x^{3}-x+2\right)}^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{2}{\left(x^{3}-x+2\right)}^{-{\frac {3}{2}}}{\left(3x^{2}-1\right)}+{\frac {1}{4}}{\left(x^{3}-x+2\right)}^{-{\frac {3}{2}}}{\left(3x^{2}-1\right)}\\&=3x{\left(x^{3}-x+2\right)}^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {-3x^{2}+1}{4}}{\left(x^{3}-x+2\right)}^{-{\frac {3}{2}}}{\left(3x^{2}-1\right)}\end{aligned}}$

und insbesondere

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(2)&=6\cdot 8^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {11}{4}}\cdot 8^{-{\frac {3}{2}}}\cdot 11\\&={\frac {3}{\sqrt {2}}}-{\frac {121}{4\cdot 8^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}-{\frac {121}{64\cdot {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {192{\sqrt {2}}}{128}}-{\frac {121{\sqrt {2}}}{128}}\\&={\frac {71{\sqrt {2}}}{128}}.\end{aligned}}$

Somit ist das Taylorpolynom vom Grad ${}2$ im Entwicklungspunkt ${}2$ gleich

$2{\sqrt {2}}+{\frac {11{\sqrt {2}}}{8}}(x-2)+{\frac {71{\sqrt {2}}}{256}}(x-2)^{2}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Lösung

Wegen der Stetigkeit von ${}f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von ${}g$ existieren beide Integrale. Es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$, die aufgrund von Korollar 19.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

${}t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)\,$

die Ableitung ${}F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$. Daher gilt insgesamt

${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Lösung

Durch Umnummerieren kann man ${}x=x_{1}$ erreichen. Es sei ${}G$ die Gleichung

${}ax_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}x_{i}=b\,$

(mit $a\neq 0$) und ${}H$ die Gleichung

${}cx_{1}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}x_{i}=d\,.$

Dann hat die Gleichung

${}H'=H-{\frac {c}{a}}G\,$

die Gestalt

${}\sum _{i=2}^{n}{\left(c_{i}-{\frac {c}{a}}a_{i}\right)}x_{i}=d-{\frac {c}{a}}b\,,$

in der ${}x_{1}$ nicht mehr vorkommt. Wegen ${}H=H'+{\frac {c}{a}}G$ sind die Gleichungssysteme äquivalent.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Untervektorräume ${}U,V\subseteq \operatorname {Mat} _{3}(K)$, die durch

${}U={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{31}=0\right\}}\,$

bzw.

${}V={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{21}=0{\text{ und }}a_{31}=0\right\}}\,$

gegeben sind.

1. Ist ${}U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
2. Ist ${}V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?

Lösung

1. ${}U$ ist nicht abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation, da beispielsweise

   ${}{\begin{pmatrix}1&*&*\\1&*&*\\0&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&*&*\\1&*&*\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}*&*&*\\*&*&*\\1&*&*\end{pmatrix}}\,$

   ist.

2. ${}V$ ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Es ist ja

   ${}{\begin{pmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{pmatrix}}\,$

   ist, da, wenn man die zweite oder dritte Zeile links mit der ersten Spalte rechts multipliziert, in jedem Summanden eine Null beteiligt ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{2}$ eine lineare Abbildung mit

${}\varphi (e_{1})={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\,,$

${}\varphi (e_{2})={\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\,$

und

${}\varphi (e_{3})={\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\,.$

Berechne ${}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}&=\varphi {\left(3e_{1}-4e_{2}+2e_{3}\right)}\\&=3\varphi (e_{1})-4\varphi (e_{2})+2\varphi (e_{3})\\&=3{\left({\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\right)}-4{\left({\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\right)}+2{\left({\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\right)}\\&={\begin{pmatrix}3\cdot 5-4\cdot 3+2\cdot 4\\3\cdot 7-4\cdot (-3)+2\cdot (-11)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}\chi _{\varphi }\in \mathbb {R} [X]$ das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem reellen Vektorraum ${}V$ endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{n}$ bestimmen?

Lösung

Es sei ${}M$ eine beschreibende Matrix. Diese können wir auch über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ auffassen, dadurch ändert sich weder das charakteristische Polynom noch die Matrizenmultiplikation. Wir können also über ${}{\mathbb {C} }$ arbeiten. Über ${}{\mathbb {C} }$ ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix obere Dreiecksgestalt hat, sagen wir

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{d-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{d}\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom hat somit die Form

${\left(X-\lambda _{1}\right)}\cdots {\left(X-\lambda _{d}\right)}.$

Die ${}n$-te Potenz dieser Matrix hat die Form

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{n}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}^{n}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{d-1}^{n}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{d}^{n}\end{pmatrix}}.$

Daher ist deren charakteristisches Polynom gleich

${\left(X-\lambda _{1}^{n}\right)}\cdots {\left(X-\lambda _{d}^{n}\right)}.$

Das charakteristische Polynom der Potenzen hängt also nur vom charakteristischen Polynom der Ausgangsmatrix ab.