Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/59/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 2 2 3 4 8 5 1 5 2 4 4 4 4 2 2 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Das abgeschlossene Intervall .
  3. Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe .
  4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  5. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .
  6. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .


Lösung

  1. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  2. Das abgeschlossene Intervall ist .
  3. Die Reihe

    heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.

  4. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
  5. Die Matrix mit

    heißt die inverse Matrix von .

  6. Das Polynom

    heißt charakteristisches Polynom von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  2. Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
  3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).


Lösung

  1. Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
  2. Es sei ein reelles Intervall,

    eine -mal stetig differenzierbare Funktion und ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

    Dann gelten folgende Aussagen.

    1. Wenn gerade ist, so besitzt in kein lokales Extremum.
    2. Sei ungerade. Bei besitzt in ein isoliertes Minimum.
    3. Sei ungerade. Bei besitzt in ein isoliertes Maximum.
  3. Sei ein reelles Intervall und sei

    eine stetige Funktion. Es sei

    stetig differenzierbar. Dann gilt


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f f
f w w
f f f


Lösung

.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Lösung

  1. Es ist
  2. Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.


Lösung

Es ist

und

und somit

Andererseits ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.


Lösung

Für sind sowohl als auch negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

Dies ist äquivalent zu .

Für ist nichtnegativ und negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

Dies ist äquivalent zu und zu .

Für sind sowohl als auch nichtnegativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

und dies ist äquivalent zu .

Als Lösungsmenge ergeben sich also die beiden offenen Intervalle und .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei mit . Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von die Form , , besitzen.


Lösung

Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von . Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über . Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich ist. Sei . Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form

haben, was erzwingt. Sei nun beliebig und eine Faktorzerlegung

in normierte Polynome vorgegeben. Da eine Nullstelle links ist, muss oder sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist ein Teiler von und somit ist

Da nullteilerfrei ist, folgt

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.


Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

  1. Zeige die Abschätzungen
  2. Zeige die Abschätzungen
  3. Zeige die Abschätzung


Lösung

  1. Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen

    ist dies richtig.

  2. Nach Teil (1) ist

    und damit ist

    Wegen

    ist

    und damit

    Nach Teil (1) ist

    und damit ist

    Wegen

    ist

    und damit

  3. Zunächst ist

    da

    ist. Somit gilt

    Wegen

    ist

    und damit auch


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine gegen konvergente reelle Folge. Es sei

eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Lösung

Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Ausgangsfolge gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

gilt. Das Urbild von unter der bijektiven Abbildung ist endlich. Es sei eine Zahl, die größer als all diese Zahlen ist. Dann gilt für die Beziehung , und somit ist für diese auch


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.


Lösung Reelle Sinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.


Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotienten

und müssen zeigen, dass der Limes für existiert und den behaupteten Wert annimmt. Sei dazu eine Folge in , die gegen konvergiert. Nach Satz 11.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern gegen . Wegen der Bijektivität ist für alle . Damit ist

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (5) beruht.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Funktion. Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei und . Wir betrachten die Hintereinanderschaltung .

  1. Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
  2. Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
  3. Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist

    und

    Die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel ist


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme das Taylorpolynom zu vom Grad im Entwicklungspunkt .


Lösung

Wir schreiben

es ist . Es ist

und insbesondere

Es ist

und insbesondere

Somit ist das Taylorpolynom vom Grad im Entwicklungspunkt gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.


Lösung

Wegen der Stetigkeit von und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von existieren beide Integrale. Es sei eine Stammfunktion von , die aufgrund von Korollar 19.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

die Ableitung . Daher gilt insgesamt


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .


Lösung

Durch Umnummerieren kann man erreichen. Es sei die Gleichung

(mit ) und die Gleichung

Dann hat die Gleichung

die Gestalt

in der nicht mehr vorkommt. Wegen sind die Gleichungssysteme äquivalent.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Untervektorräume , die durch

bzw.

gegeben sind.

  1. Ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
  2. Ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?


Lösung

  1. ist nicht abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation, da beispielsweise

    ist.

  2. ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Es ist ja

    ist, da, wenn man die zweite oder dritte Zeile links mit der ersten Spalte rechts multipliziert, in jedem Summanden eine Null beteiligt ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung mit

und

Berechne .


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung

auf einem reellen Vektorraum endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen bestimmen?


Lösung

Es sei eine beschreibende Matrix. Diese können wir auch über den komplexen Zahlen auffassen, dadurch ändert sich weder das charakteristische Polynom noch die Matrizenmultiplikation. Wir können also über arbeiten. Über ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix obere Dreiecksgestalt hat, sagen wir

Das charakteristische Polynom hat somit die Form

Die -te Potenz dieser Matrix hat die Form

Daher ist deren charakteristisches Polynom gleich

Das charakteristische Polynom der Potenzen hängt also nur vom charakteristischen Polynom der Ausgangsmatrix ab.