Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/T1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	2	9	2	4	5	2	4	2	3	4	3	4	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Disjunktheit von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.
4. Der Betrag einer reellen Zahl.
5. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$.
6. Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${}F\in K[X]$.
2. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
3. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}x\in D$.

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Aufgabe (2 Punkte)

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von ${}{\frac {1}{2}}$ cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von ${}2$ cm und die Flasche hat einen Durchmesser von ${}6$ cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?

Aufgabe * (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, ${}A$ und ${}B$, schwimmen auf einer ${}50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer ${}A$ schwimmt ${}3m/s$ (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer ${}B$ schwimmt ${}2m/s$.

1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen ${}0$ und ${}100$ Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer ${}A$ (und Schwimmer ${}B$) nach ${}30$ Sekunden?
3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
5. Wie oft überrundet Schwimmer ${}A$ den Schwimmer ${}B$?

Aufgabe * (2 Punkte)

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel

${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Aufgabe * (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

$(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$

b) Bestimme das inverse Element ${}z^{-1}$ zu

${}z=3+4{\mathrm {i} }\,.$

c) Welchen Abstand hat ${}z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

1. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}b$	${}e$	${}f$	${}h$	${}e$	${}g$	${}c$	${}d$

2. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}\,$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

3. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}f$	${}d$	${}e$	${}h$	${}b$	${}a$

4. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}3$	${}7$	${}1$	${}4$	${}6$	${}8$	${}5$	${}2$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}d$	${}f$	${}a$	${}e$	${}h$	${}b$	${}g$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=6X^{3}+X+1$ und ${}T=3X^{2}+2X-4$ durch.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente reelle Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.