Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex

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\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { x^2 \cdot \exp \left( x^3-4x \right) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinus}{}{-} und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 21.1} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die $1034871$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \sin \left( \cos x \right) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { ( \sin x )( \cos x ) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für $n \in \N$ die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { (\sin x )^n } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {D} {\R } {x} { \tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x } } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {} induziert, und dass die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} eine bijektive, streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Arkussinus}{}{} und \definitionsverweis {Arkuskosinus}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = 1 + \ln x - \frac{1}{x} } {.}

a) Zeige, dass $f$ eine stetige Bijektion zwischen \mathkor {} {\R_+} {und} {\R} {} definiert.

b) Bestimme das Urbild $u$ von $0$ unter $f$ sowie $f'(u)$ und $(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Es sei $a \in \R$. Es gelte
\mathdisp {f(a) \geq g(a) \text{ und } f'(x) \geq g'(x) \text { für alle } x \geq a} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) \geq g(x) \text { für alle } x \geq a \text{ gilt}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} {\R } {x} {f(x) = e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } } } {.}

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von $f$.

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von $f$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = (2x+3)e^{-x^2} } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} und die lokalen (globalen) \definitionsverweis {Extrema}{}{} von $f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf von \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = e^{-2x} -2e^{-x} } {.} Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von $f$,
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow \infty } \, f(x)}{} und ebenso für die Ableitung $f'$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \in {]0,1]}, \\ 0 \text{ für } x = 0,\end{cases}} { }
\definitionsverweis {stetig}{}{} ist und unendlich viele \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der \definitionsverweis {Funktionslimes}{}{} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. \aufzaehlungvier{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ (\sin x)^2 }{x}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x^2}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{x-1}{ \ln x }$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der \definitionsverweis {Funktionslimes}{}{} für
\mathbed {x \in \R \setminus \{0\}} {}
{x \rightarrow 0} {}
{} {} {} {,} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. \aufzaehlungdrei{$\sin \frac{1}{x}$, }{$x \cdot \sin \frac{1}{x}$, }{$\frac{1}{x} \cdot \sin \frac{1}{x}$. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {linearen Funktionen}{}{,} die \definitionsverweis {tangential}{}{} zur \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_+ } {\R } {x} { x^x } {.}

}
{} {}

Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.


\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Extrema}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = \sin x + \cos x } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} vom Grad $d \geq 1$. Es sei $m$ die Anzahl der \definitionsverweis {lokalen Maxima}{}{} von $f$ und $n$ die Anzahl der \definitionsverweis {lokalen Minima}{}{} von $f$. Zeige, dass bei $d$ ungerade $m=n$ und bei $d$ gerade $\betrag { m-n }=1$ ist.

}
{} {}



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