Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x\cos x,$

im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

${}f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-3x+5\,$

im Entwicklungspunkt ${}a=3$.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${}f^{(k)}(a)$.

Aufgabe

Es sei ${}p\in \mathbb {R} [Y]$ ein Polynom und

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x)=p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass die Ableitung ${}g'(x)$ ebenfalls von der Form

${}g'(x)=q{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}\,$

mit einem weiteren Polynom ${}q$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ die Eigenschaft

${}\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} _{+},\,x\rightarrow 0}\,f^{(n)}(x)=0\,$

besitzt.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ im Entwicklungspunkt ${}a=2$ der Ordnung ${}4$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ zur Funktion

${}f(x)=x\cdot \sin x\,$

im Entwicklungspunkt ${}a={\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

$f'=f{\text{ und }}f(0)=1.$

Zeige, dass ${}f(x)=\exp x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Sinus im Punkt ${}0$ mit dem in Bemerkung 22.8 beschriebenen Potenzreihenansatz.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt ${}0$ bis zum Grad ${}4$ der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(\cos x\right)+x^{3}\exp \left(x^{2}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

$f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\left(\sin x\right)}{\left(\cos x\right)},$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

$f\colon [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\sin ^{3}x-{\frac {1}{4}}\sin x,$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt ${}1$ mit dem in Bemerkung 22.8 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.

Aufgabe (6 Punkte)

Zu ${}n\geq 3$ sei ${}A_{n}$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen ${}n$-Eckes. Zeige ${}A_{n}\leq A_{n+1}$.

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