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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 22

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Aufwärmaufgaben

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Nullpunkt.



Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

im Entwicklungspunkt .



Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .



Es sei ein Polynom und

Zeige, dass die Ableitung ebenfalls von der Form

mit einem weiteren Polynom ist.



Wir betrachten die Funktion

Zeige, dass für jedes die -te Ableitung die Eigenschaft

besitzt.



Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion im Entwicklungspunkt der Ordnung .



Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion

im Entwicklungspunkt .



Es sei

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

Zeige, dass für alle ist.



Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Sinus im Punkt mit dem in Bemerkung 22.8 beschriebenen Potenzreihenansatz.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt bis zum Grad der Funktion



Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.



Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt mit dem in Bemerkung 22.8 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.



Aufgabe (6 Punkte)

Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .




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