Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \sin x \cos x } {,} im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^4-2x^3+2x^2-3x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty c_n (x-a)^{ n }$ eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $f^{(k)}(a)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ \R[Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und
\maabbeledisp {g} { \R_+} {\R
} {x} { g(x) = p { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }
} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$g'(x)$ ebenfalls von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ =} {q { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x) = e^{- \frac{1}{x} }
} {.}
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $n$-te
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f^{(n)}}{} die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \in \R_+ , \, x \rightarrow 0 } \, f^{(n)}(x)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ordnung $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x \cdot \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
mit den Eigenschaften
\mathdisp {f'=f \text{ und } f(0)=1} { . }
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{\exp x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des \definitionsverweis {Sinus}{}{} im Punkt $0$ mit dem in Bemerkung 22.8 beschriebenen Potenzreihenansatz.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt $0$ bis zum Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { \sin \left( \cos x \right) + x^3 \exp \left( x^2 \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,2 \pi]} {\R } {x} {f(x) = { \left( \sin x \right) } { \left( \cos x \right) } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[- { \frac{ \pi }{ 2 } } ,{ \frac{ \pi }{ 2 } }]} {\R } {x} {f(x) = \sin^{ 3 } x - { \frac{ 1 }{ 4 } } \sin x } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} im Entwicklungspunkt $1$ mit dem in Bemerkung 22.8 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathl{A_n}{} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n
}
{ \leq }{ A_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
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