Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 3/latex

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\setcounter{section}{3}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k} }
{ =} { \binom { n } { k} + \binom { n } { k-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} natürliche Zahlen sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n }
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise durch Induktion, dass für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ \geq} {10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^n }
{ \geq} { n^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die folgenden Aussagen zu \definitionsverweis {Real}{}{-} und \definitionsverweis {Imaginärteil}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungfuenf{$z= \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i}$. }{$\operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) } = \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Re} \, { \left( w \right) }$. }{$\operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) } = \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) }$. }{Für $r \in \R$ ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{$z = \operatorname{Re} \, { \left( z \right) }$ genau dann, wenn $z \in \R$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn $\operatorname{Im} \, { \left( z \right) }=0$ ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} folgende Rechenregeln gelten. \aufzaehlungfuenf{$\betrag { z }= \sqrt{ z \ \overline{ z } }$. }{$\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } = \frac{z+ \overline{ z } }{2}$. }{$\operatorname{Im} \, { \left( z \right) } = \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} }$. }{$\overline{ z }= \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }$. }{Für $z \neq 0$ ist
\mathl{z^{-1}= \frac{ \overline{ z } }{ \betrag { z }^2 }}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Regeln für den \definitionsverweis {Betrag}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein. }{Es ist $\betrag { z }=0$ genau dann, wenn $z=0$ ist. }{$\betrag { z }= \betrag { \overline{ z } }$. }{$\betrag { zw } = \betrag { z } \betrag { w }$. }{Für $z \neq 0$ ist $\betrag { 1/z } = 1/ \betrag { z }$. }{$\betrag { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } \leq \betrag { z }$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die in Beispiel 3.15 angegebene Formel für die \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} einer \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{} $z=a+b { \mathrm i}$ im Fall $b <0$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung
\mathdisp {z^2+5 { \mathrm i} z-3=0} { . }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n 2^{n-1} }
{ =} { \sum_{k = 0}^n k \binom { n } { k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für $n=1,2,3,4,5$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} die folgenden Rechenregeln gelten. \aufzaehlungsechs{$\overline{ z+w }= \overline{ z } + \overline{ w }$. }{$\overline{ -z }= - \overline{ z }$. }{$\overline{ z \cdot w }= \overline{ z } \cdot \overline{ w }$. }{Für $z \neq 0$ ist $\overline{ 1/z } =1/\overline{ z }$. }{$\overline{ \overline{ z } } =z$. }{$\overline{ z } =z$ genau dann, wenn
\mathl{z \in \R}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Seien $a,b,c \in {\mathbb C}$ mit $a \neq 0$. Zeige, dass es für die Gleichung
\mathdisp {az^2+bz+c=0} { }
mindestens eine komplexe Lösung $z$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${ \mathrm i}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man finde alle drei komplexen Zahlen $z$, die die Bedingung
\mathdisp {z^3=1} { }
erfüllen.

}
{} {}



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