Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k}
}
{ =} { \binom { n } { k} + \binom { n } { k-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} natürliche Zahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise durch Induktion, dass für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} {10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^n
}
{ \geq} { n^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die folgenden Aussagen zu
\definitionsverweis {Real}{}{-}
und
\definitionsverweis {Imaginärteil}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{$z=
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i}$.
}{$\operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) } =
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } +
\operatorname{Re} \, { \left( w \right) }$.
}{$\operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) } = \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) }$.
}{Für $r \in \R$ ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{$z =
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }$ genau dann, wenn $z \in \R$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn $\operatorname{Im} \, { \left( z \right) }=0$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass innerhalb der
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
folgende Rechenregeln gelten.
\aufzaehlungfuenf{$\betrag { z }= \sqrt{ z \ \overline{ z } }$.
}{$\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } = \frac{z+ \overline{ z } }{2}$.
}{$\operatorname{Im} \, { \left( z \right) } = \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} }$.
}{$\overline{ z }=
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }$.
}{Für $z \neq 0$ ist
\mathl{z^{-1}= \frac{ \overline{ z } }{ \betrag { z }^2 }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Regeln für den \definitionsverweis {Betrag}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein. }{Es ist $\betrag { z }=0$ genau dann, wenn $z=0$ ist. }{$\betrag { z }= \betrag { \overline{ z } }$. }{$\betrag { zw } = \betrag { z } \betrag { w }$. }{Für $z \neq 0$ ist $\betrag { 1/z } = 1/ \betrag { z }$. }{$\betrag { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } \leq \betrag { z }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die in Beispiel 3.15 angegebene Formel für die \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} einer \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{} $z=a+b { \mathrm i}$ im Fall $b <0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung
\mathdisp {z^2+5 { \mathrm i} z-3=0} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n 2^{n-1}
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n k \binom { n } { k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für $n=1,2,3,4,5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
die folgenden Rechenregeln gelten.
\aufzaehlungsechs{$\overline{ z+w }= \overline{ z } + \overline{ w }$.
}{$\overline{ -z }= - \overline{ z }$.
}{$\overline{ z \cdot w }= \overline{ z } \cdot \overline{ w }$.
}{Für $z \neq 0$ ist $\overline{ 1/z } =1/\overline{ z }$.
}{$\overline{ \overline{ z } } =z$.
}{$\overline{ z } =z$ genau dann, wenn
\mathl{z \in \R}{} ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Seien $a,b,c \in {\mathbb C}$ mit $a \neq 0$. Zeige, dass es für die Gleichung
\mathdisp {az^2+bz+c=0} { }
mindestens eine komplexe Lösung $z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man finde alle drei komplexen Zahlen $z$, die die Bedingung
\mathdisp {z^3=1} { }
erfüllen.
}
{} {}
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