Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 40/latex

\setcounter{section}{40}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\3 & 7 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } (\lambda) }
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt\zusatzfussnote {Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss} {.} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass $P(\lambda)$ ein Eigenwert von\zusatzfussnote {Der Ausdruck \mathlk{P(\varphi)}{} bedeutet, dass man die lineare Abbildung $\varphi$ in das Polynom $P$ einsetzt. Dabei muss man $X^n$ als $\varphi^n$, also als die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $\varphi$ mit sich selbst, interpretieren, die Addition wird zur Addition von linearen Abbildungen, u.s.w} {.} {} $P(\varphi)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3 } {,} die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A }
{ =} { \begin{pmatrix} -4 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \\-3 & 3 & 5 \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne: \aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$

}{die zugehörigen Eigenräume; }{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte; }{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ \leq }{ m }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man gebe Beispiele für $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} $M$ derart, dass $a$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu $M$ ist mit der \definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{} $n$ und der \definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{} $m$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 8 & 5 \\ 4 & 7 & 1 \\2 & -4 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} {\begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\-4 & 0 & 6 \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne: \aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$

}{die zugehörigen Eigenräume; }{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte; }{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {algebraischen}{}{} und \definitionsverweis {geometrischen}{}{} Vielfachheiten für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} der sogenannten \stichwort {Begleitmatrix} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ mindestens einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.

}
{} {}