Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 40

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 3\\ 7& 4& 2\\ 3& 7& 5\end{array}\right).$

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}5& 7\\ 3& 4\end{array}\right)$

über $ℂ$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zeige, dass für jedes  $\lambda \in K$  die Beziehung

${\chi }_M(\lambda )=det(\lambda E_n-M)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wie findet man die Determinante von $M$ im charakteristischen Polynom ${\chi }_M$ wieder?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Es sei  $\lambda \in K$  ein Eigenwert von $\phi$ und  $P\in K[X]$  ein Polynom. Zeige, dass $P(\lambda )$ ein Eigenwert von $P(\phi )$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\phi :{ℂ}^3⟶{ℂ}^3,$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2+\mathrm{i}\\ 0& \mathrm{i}& 1+\mathrm{i}\\ 0& 0& -1+2\mathrm{i}\end{array}\right)$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für $\phi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe

Es sei

$A=\left(\begin{array}{ccc}-4& 6& 6\\ 0& 2& 0\\ -3& 3& 5\end{array}\right)\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ).$

Berechne:

1. die Eigenwerte von $A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix  $C\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ)$  derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,  $a\in K$  und  $m,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  $1\le m\le n$.  Man gebe Beispiele für $n\times n$-Matrizen $M$ derart, dass $a$ ein Eigenwert zu $M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit $n$ und der geometrischen Vielfachheit $m$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-3& 8& 5\\ 4& 7& 1\\ 2& -4& 5\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 5& 4\end{array}\right)$

über $ℂ$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$A=\left(\begin{array}{ccc}-5& 0& 7\\ 6& 2& -6\\ -4& 0& 6\end{array}\right)\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ).$

Berechne:

1. die Eigenwerte von $A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix  $C\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ)$  derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes  $\lambda \in \mathbb{Q}$  die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 1\\ -a_0& -a_1& \dots & -a_{n-2}& -a_{n-1}\end{array}\right)$

gleich

${\chi }_M=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ mindestens einen Eigenvektor besitzt.

Fußnoten