Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 39

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},

die durch eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung ${}f\mapsto f'$ eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}V$ ist.

b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.^[1]

c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$ . Zeige folgende Aussagen.

Der Eigenraum
$\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$

ist ein Untervektorraum von ${}V$ .
${}\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$ , wenn der Eigenraum ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ nicht der Nullraum ist.
Ein Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0$ , ist genau dann ein Eigenvektor zu ${}\lambda$ , wenn ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ und sei

{}U=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\,

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich ${}\varphi$ zu einer linearen Abbildung

\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U,\,v\longmapsto \varphi (v),

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ${}\lambda$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{2}({\mathbb {C} })$ mindestens einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

derart, dass ${}\varphi$ keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz ${}\varphi ^{n}$ , ${}n\geq 2$ , Eigenwerte besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung mit

{}\varphi ^{n}=\operatorname {Id} _{V}\,

für ein gewisses ${}n\in \mathbb {N}$ .^[2] Zeige, dass jeder Eigenwert ${}\lambda$ von ${}\varphi$ die Eigenschaft ${}\lambda ^{n}=1$ besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$ . Zeige, dass

{}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0,$ ein Eigenvektor von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

{}M={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.

Zeige, dass ${}M$ als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von ${}M$ als komplexer Matrix.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

{}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,.

Man charakterisiere in Abhängigkeit von ${}a,b,c,d$ , wann eine solche Matrix

zwei verschiedene Eigenwerte,
einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
keinen Eigenwert,

besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \neq 0$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis ${}v,u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ eine Basis ${}v,w_{2},\ldots ,w_{n}$ gibt mit ${}\langle v,u_{j}\rangle =\langle v,w_{j}\rangle$ und mit