Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 39

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

die durch eine Matrix der Form gegeben ist.


Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von nach besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung eine lineare Abbildung von nach ist.


b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.[1]


c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum

eine lineare Abbildung und . Zeige folgende Aussagen.

  1. Der Eigenraum

    ist ein Untervektorraum von .

  2. ist genau dann ein Eigenwert zu , wenn der Eigenraum nicht der Nullraum ist.
  3. Ein Vektor , ist genau dann ein Eigenvektor zu , wenn ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Sei und sei

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich zu einer linearen Abbildung

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu gibt.


Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix

mindestens einen Eigenwert besitzt.


Aufgabe *

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz , , Eigenwerte besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung mit

für ein gewisses .[2] Zeige, dass jeder Eigenwert von die Eigenschaft besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.


Homothety in two dim.svg

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ein Eigenvektor von ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

Zeige, dass als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von als komplexer Matrix.


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

Man charakterisiere in Abhängigkeit von , wann eine solche Matrix
  1. zwei verschiedene Eigenwerte,
  2. einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
  3. einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
  4. keinen Eigenwert,

besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis von eine Basis gibt mit und mit

für alle .

Zeige ebenso, dass dies bei nicht möglich ist.




Fußnoten
  1. In diesem Zusammenhang spricht man auch von Eigenfunktionen.
  2. Der Wert ist hier erlaubt, aber aussagelos.



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