Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 39

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2},

die durch eine Matrix der Form $(\begin{matrix} a & b \\ 0 & d \end{matrix})$ gegeben ist.

Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei $V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung $f \mapsto f^{'}$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $V$ ist.

b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.^[1]

c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung und $λ \in K$ . Zeige folgende Aussagen.

Der Eigenraum
${Eig}_{λ} (φ)$

ist ein Untervektorraum von $V$ .
$λ$ ist genau dann ein Eigenwert zu $φ$ , wenn der Eigenraum ${Eig}_{λ} (φ)$ nicht der Nullraum ist.
Ein Vektor $v \in V, v \neq 0$ , ist genau dann ein Eigenvektor zu $λ$ , wenn $v \in {Eig}_{λ} (φ)$ ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei $λ \in K$ und sei

U = {Eig}_{λ} (φ)

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich $φ$ zu einer linearen Abbildung

φ |_{U} : U ⟶ U, v ⟼ φ (v),

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor $λ$ ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu $φ$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix $M \in {Mat}_{2} (ℂ)$ mindestens einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe *

Es sei $M \in {Mat}_{n} (K)$ eine Matrix mit $n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}

derart, dass $φ$ keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz $φ^{n}$ , $n \geq 2$ , Eigenwerte besitzt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung mit

φ^{n} = {Id}_{V}

für ein gewisses $n \in ℕ$ .^[2] Zeige, dass jeder Eigenwert $λ$ von $φ$ die Eigenschaft $λ^{n} = 1$ besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung und seien $λ_{1} \neq λ_{2}$ Elemente in $K$ . Zeige, dass

{Eig}_{λ_{1}} (φ) \cap {Eig}_{λ_{2}} (φ) = 0

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $φ$ genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor $v \in V, v \neq 0,$ ein Eigenvektor von $φ$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

M = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) .

Zeige, dass $M$ als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von $M$ als komplexer Matrix.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in {Mat}_{2} (ℝ) .

Man charakterisiere in Abhängigkeit von $a, b, c, d$ , wann eine solche Matrix

zwei verschiedene Eigenwerte,
einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
keinen Eigenwert,

besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei $λ \neq 0$ ein Eigenwert von $φ$ und $v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis $v, u_{2}, \dots, u_{n}$ von $V$ eine Basis $v, w_{2}, \dots, w_{n}$ gibt mit $⟨ v, u_{j} ⟩ = ⟨ v, w_{j} ⟩$ und mit