Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 41

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum -invariant, wenn

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

  1. Der Nullraum ist -invariant.
  2. ist -invariant.
  3. Eigenräume sind -invariant.
  4. Seien -invariante Unterräume. Dann sind auch und -invariant.
  5. Sei ein -invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum und der Urbildraum -invariant.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der kleinste -invariante Unterraum von , der enthält, gleich

ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein -invarianter Unterraum

ist.


Aufgabe

Es sei eine Basis von , bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

-invariant für jedes sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

über trigonalisierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Jordanmatrix zum Eigenwert . Zeige, dass der Eigenraum von zum Eigenwert eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine reelle -Matrix, die über nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.


Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann sogar diagonalisierbar ist.




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