Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}4& 7& -3\\ 2& 7& 5\\ 0& 0& -6\end{array}\right)$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& 3\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 7\\ 0& -2& -6\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum  $U\subseteq V$  $\phi$-invariant, wenn

$\phi (U)\subseteq U$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

1. Der Nullraum  $0\subseteq V$  ist $\phi$-invariant.
2. $V$ ist $\phi$-invariant.
3. Eigenräume sind $\phi$-invariant.
4. Es seien  $U_1,U_2\subseteq V$  $\phi$-invariante Unterräume. Dann sind auch $U_1\cap U_2$ und $U_1+U_2$ $\phi$-invariant.
5. Es sei  $U\subseteq V$  ein $\phi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum $\phi (U)$ und der Urbildraum ${\phi }^{-1}(U)$ $\phi$-invariant.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung und  $v\in V$.  Zeige, dass der kleinste $\phi$-invariante Unterraum von $V$, der $v$ enthält, gleich

$⟨{\phi }^n(v),n\in \mathbb{N}⟩$

ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

$U=\{v\in V\mid \text{ es gibt ein }n\in \mathbb{N}\text{ mit }{\phi }^n(v)=0\}$

definierte Teilmenge von $V$ ein $\phi$-invarianter Untervektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$, bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

$\phi :V⟶V$

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

$⟨v_1,\dots ,v_i⟩$

$\phi$-invariant für jedes $i$ sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ 7& 9& 8\\ 6& 2& -7\end{array}\right)$

über $ℝ$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}1& 5& 6& 2\\ 5& 7& -4& -3\\ 0& 0& -2& 8\\ 0& 0& 1& 9\end{array}\right)$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $M$ eine Jordanmatrix zum Eigenwert $\lambda$. Zeige, dass der Eigenraum von $M$ zum Eigenwert $\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ eine reelle $2\times 2$-Matrix, die über $ℝ$ nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass $M$ über $ℂ$ diagonalisierbar ist.

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich $1$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$f:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass $f$ trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann $f$ sogar diagonalisierbar ist.