Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}4&7&-3\\2&7&5\\0&0&-6\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}3&5\\0&3\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-2&2&7\\0&-2&-6\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-2&1&0\\0&-2&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ${}\varphi$-invariant, wenn

${}\varphi (U)\subseteq U\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

1. Der Nullraum ${}0\subseteq V$ ist ${}\varphi$- invariant.
2. ${}V$ ist ${}\varphi$- invariant.
3. Eigenräume sind ${}\varphi$-invariant.
4. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ ${}\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch ${}U_{1}\cap U_{2}$ und ${}U_{1}+U_{2}$ ${}\varphi$-invariant.
5. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum ${}\varphi (U)$ und der Urbildraum ${}\varphi ^{-1}(U)$ ${}\varphi$-invariant.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}v\in V$. Zeige, dass der kleinste ${}\varphi$- invariante Unterraum von ${}V$, der ${}v$ enthält, gleich

$\langle \varphi ^{n}(v),\,n\in \mathbb {N} \rangle$

ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

${}U={\left\{v\in V\mid {\text{ es gibt ein }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}\varphi ^{n}(v)=0\right\}}\,$

definierte Teilmenge von ${}V$ ein ${}\varphi$- invarianter Unterraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$, bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

$\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$

${}\varphi$- invariant für jedes ${}i$ sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}5&-1&3\\7&9&8\\6&2&-7\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}1&5&6&2\\5&7&-4&-3\\0&0&-2&8\\0&0&1&9\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&3&4\\0&2&5\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Jordanmatrix zum Eigenwert ${}\lambda$. Zeige, dass der Eigenraum von ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine reelle ${}2\times 2$-Matrix, die über ${}\mathbb {R}$ nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass ${}M$ über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist.

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann ${}f$ sogar diagonalisierbar ist.