Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 55/latex

\setcounter{section}{55}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide \zusatzklammer {eines \stichwort {Tetraeders} {}} {} {} mit Seitenlänge $1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien drei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1,P_2,P_3 }
{ \in }{ \Q^2 }
{ \subset }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {} um die $x$-Achse gedreht wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die $y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \anfuehrung{gedeckelt}{} wird, in Abhängigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Fasse die Einheitskugel als \definitionsverweis {Rotationskörper}{}{} auf und berechne damit ihr Volumen.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cavalieriho princip.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cavalieriho princip.svg } {} {Pajs} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe $1$ besitzt, den \zusatzklammer {offenen} {} {} Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R_{\geq 0} } {t} {t+ \sqrt{t} +1 } {,} um die $t$-Achse rotieren lässt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ die \definitionsverweis {Kreisscheibe}{}{} mit dem Mittelpunkt in
\mathl{(0,R)}{} und dem Radius
\mathl{0 <r <R}{.} Berechne das Volumen des \definitionsverweis {Rotationskörpers}{}{,} der entsteht, wenn sich $K$ um die $x$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ der \definitionsverweis {Viertelkreis}{}{} mit dem Mittelpunkt in
\mathl{(1,0)}{,} dem Radius
\mathl{1}{} und den Eckpunkten \mathkor {} {(0,0)} {und} {(1,1)} {.} Berechne das Volumen des \anfuehrung{runden Trichters}{,} der entsteht, wenn man $V$ um die $y$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ das \definitionsverweis {Dreieck}{}{} mit den Eckpunkten
\mathl{(3,4),\, (5,5)}{} und
\mathl{(4,6)}{.} Bestimme das Volumen des \definitionsverweis {Rotationskörpers}{}{,} der entsteht, wenn man $D$ um die $x$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Volumen des \definitionsverweis {Kegels}{}{,} dessen Spitze in
\mathl{(2,3,5)}{} liegt und dessen Grundfläche die durch
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 3x^2+2y^2 \leq 4 \right\} }} { }
gegebene Ellipse ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ ein Kreissektor des Einheitskreises zum Winkel $\alpha$ \zusatzklammer {im Bogenmaß} {} {.} Begründe mit Überpflasterungseigenschaften und mit Satz 55.9, dass der Flächeninhalt von $T$ gleich ${ \frac{ \alpha }{ 2 } }$ ist.

}
{} {}