Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 54

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.

Aufgabe

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion

h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2(x-3)^{2}+3(y-1)^{2}.

Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(m,l)\longmapsto {\frac {m}{l^{2}}},

berechnet, wobei ${}m$ für die Masse und ${}l$ für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
Berechne die Hesse-Matrix von ${}\varphi$ und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf ${}[30,300]\times [1,2]$ einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ${}T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.

Aufgabe *

Es sei

G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

ein Gradientenfeld und sei

\varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

( ${}J\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=G(v)$ . Es gelte ${}\varphi '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in J$ . Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe

Betrachte zu ${}r,s\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}r+s>1$ und ${}s<r+1$ die „sichelförmige“ Menge

M_{r,s}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r,\,{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\geq s\right\}}.

Für welche ${}r,s$ ist diese Menge sternförmig?

Aufgabe

Zeige, dass das Vektorfeld

G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(2x-y\cos x,\,-\sin x\right),

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Ob ein Vektorfeld auf ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.

Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ nennt man

{}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}(P):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{2}}}(P)-{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{3}}}(P)\\{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{3}}}(P)-{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{1}}}(P)\\{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{1}}}(P)-{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{2}}}(P)\end{pmatrix}}\,

die Rotation von ${}G$ .

Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei ${}G\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ . Zeige, dass ${}G$ genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ${}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}=0$ ist.