Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 54

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.


Aufgabe

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion


BodyMassIndex.png

Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

berechnet, wobei für die Masse und für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

  1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
  2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
  3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
  4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
  5. Berechne die Hesse-Matrix von und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
  6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
  7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.


Aufgabe *

Sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.


Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?

Aufgabe

Betrachte zu mit und die „sichelförmige“ Menge

Für welche ist diese Menge sternförmig?


Aufgabe

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Ob ein Vektorfeld auf die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.


Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

auf einer offenen Teilmenge nennt man

die Rotation von .


Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Zeige, dass genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ist.


Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

gehört.


Aufgabe (3 Punkte)

Welche linearen Vektorfelder

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (5 Punkte)

Fertige eine Illustration zu Beispiel 54.3 an.




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