Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 58/latex

\setcounter{section}{58}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat
\mathl{T=[0,1] \times [0,1]}{} und das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x,y) }
{ =} {(xy,y^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} durch explizite Berechnungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq \R^2}{} die Teilmenge, die durch die $x$-Achse, die Gleichung
\mathl{x=1}{} und den Parabelbogen begrenzt wird, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x,y) }
{ = }{(x+y^2,x^2y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.} Bestätige den Satz von Green für diese Situation durch explizite Berechnungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge
\mathl{T=[-2,2] \times [-2,2] \setminus U { \left( 0,1 \right) }}{} \zusatzklammer {also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge $4$ ohne den offenen Einheitskreis} {} {} und das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x,y) }
{ = }{(x-y,xy) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im $\R^2$ nur von der Länge des Randes abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ das durch $(0,2),\, (1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und
\mathl{h(x,y) = x^2y}{.} Finde ein \definitionsverweis {stetig differenzierbares Vektorfeld}{}{} $F$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {{ \frac{ \partial F_2 }{ \partial x } } - { \frac{ \partial F_1 }{ \partial y } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und berechne damit
\mathl{\int_T h d \lambda^2}{} durch ein \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} über den Dreiecksrand.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0 \}} {{\mathbb C} \setminus \{0 \} } {z} {z^{-1} } {,} das komplexe Invertieren. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion \zusatzklammer {jeweils aufgefasst als eine Funktion von $\R^2$ nach $\R$} {} {} eine \definitionsverweis {harmonische Funktion}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ das durch $(0,2),\, (1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y) }
{ =} { 3x^2y^5-x \sin y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde ein \definitionsverweis {stetig differenzierbares Vektorfeld}{}{} $F$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y) }
{ =} { { \frac{ \partial F_2 }{ \partial x } } - { \frac{ \partial F_1 }{ \partial y } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und berechne damit
\mathl{\int_T h d \lambda^2}{} durch ein \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} über den Dreiecksrand.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat
\mathl{T=[0,1] \times [0,1]}{} und die \definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x,y) }
{ =} {(x^ay^b,x^cy^d) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a,b,c,d \in \N}{} durch explizite Berechnungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge
\mathl{T=B \left( 0,2 \right) \setminus U { \left( 0,1 \right) }}{} und das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x,y) }
{ = }{(2x^2-xy,xy^3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Flächeninhalt der \definitionsverweis {abgeschlossenen Einheitskreisscheibe}{}{} über ein geeignetes \definitionsverweis {Wegintegral}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\gamma$ ein \definitionsverweis {stückweise regulärer Weg}{}{,} der das durch die $x-$Achse, die beiden Gleichungen \mathkor {} {x= { \frac{ 1 }{ 3 } }} {und} {x=5} {} und die Hyperbel \zusatzklammer {also den Graph der Funktion
\mathl{y= { \frac{ 1 }{ x } }}{}} {} {} gegebene Gebiet gegen den Uhrzeigersinn umrandet. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} über $\gamma$ zum \zusatzklammer {auf \mathlk{\R_+ \times \R_{> -1}}{} definierten} {} {} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x,y) }
{ =} { \left( \sin \left( x^5 \right) , \, \ln x + { \frac{ 1 }{ (1+y)^2 } } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {P} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {} eine komplexe Polynomfunktion. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion \zusatzklammer {jeweils aufgefasst als eine Funktion von $\R^2$ nach $\R$} {} {} eine \definitionsverweis {harmonische Funktion}{}{} ist.

}
{} {}