Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 58

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat und das Vektorfeld

durch explizite Berechnungen.


Aufgabe

Es sei die Teilmenge, die durch die -Achse, die Gleichung und den Parabelbogen begrenzt wird, und es sei ein Vektorfeld. Bestätige den Satz von Green für diese Situation durch explizite Berechnungen.


Aufgabe

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge (also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge ohne den offenen Einheitskreis) und das Vektorfeld .


Aufgabe

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im nur von der Länge des Randes abhängt.


Aufgabe

Es sei das durch und gegebene Dreieck und . Finde ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit

und berechne damit durch ein Wegintegral über den Dreiecksrand.


Aufgabe

Es sei

das komplexe Invertieren. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion (jeweils aufgefasst als eine Funktion von nach ) eine harmonische Funktion ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei das durch und gegebene Dreieck und . Finde ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit

und berechne damit durch ein

Wegintegral über den Dreiecksrand.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat und die Vektorfelder

mit durch explizite Berechnungen.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge und das Vektorfeld .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe über ein geeignetes Wegintegral.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein stückweise regulärer Weg, der das durch die Achse, die beiden Gleichungen und und die Hyperbel (also den Graph der Funktion ) gegebene Gebiet gegen den Uhrzeigersinn umrandet. Berechne das Wegintegral über zum (auf definierten) Vektorfeld


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine komplexe Polynomfunktion. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion (jeweils aufgefasst als eine Funktion von nach ) eine harmonische Funktion ist.



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