Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 58

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat ${}T=[0,1]\times [0,1]$ und das Vektorfeld

${}F(x,y)=(xy,y^{2})\,$

durch explizite Berechnungen.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ die Teilmenge, die durch die ${}x$-Achse, die Gleichung ${}x=1$ und den Parabelbogen begrenzt wird, und es sei ${}F(x,y)=(x+y^{2},x^{2}y)$ ein Vektorfeld. Bestätige den Satz von Green für diese Situation durch explizite Berechnungen.

Aufgabe

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge ${}T=[-2,2]\times [-2,2]\setminus U{\left(0,1\right)}$ (also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge ${}4$ ohne den offenen Einheitskreis) und das Vektorfeld ${}F(x,y)=(x-y,xy)$.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im ${}\mathbb {R} ^{2}$ nur von der Länge des Randes abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}T$ das durch ${}(0,2),\,(1,-1)$ und ${}(-2,-1)$ gegebene Dreieck und ${}h(x,y)=x^{2}y$. Finde ein stetig differenzierbares Vektorfeld ${}F$ mit

${}h(x,y)={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,$

und berechne damit ${}\int _{T}hd\lambda ^{2}$ durch ein Wegintegral über den Dreiecksrand.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1},$

das komplexe Invertieren. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion (jeweils aufgefasst als eine Funktion von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R}$) eine harmonische Funktion ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ das durch ${}(0,2),\,(1,-1)$ und ${}(-2,-1)$ gegebene Dreieck und

${}h(x,y)=3x^{2}y^{5}-x\sin y\,.$

Finde ein stetig differenzierbares Vektorfeld ${}F$ mit

${}h(x,y)={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,$

und berechne damit ${}\int _{T}hd\lambda ^{2}$ durch ein Wegintegral über den Dreiecksrand.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat ${}T=[0,1]\times [0,1]$ und die Vektorfelder

${}F(x,y)=(x^{a}y^{b},x^{c}y^{d})\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {N}$ durch explizite Berechnungen.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge ${}T=B\left(0,2\right)\setminus U{\left(0,1\right)}$ und das Vektorfeld ${}F(x,y)=(2x^{2}-xy,xy^{3})$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe über ein geeignetes Wegintegral.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\gamma$ ein stückweise regulärer Weg, der das durch die ${}x-$Achse, die beiden Gleichungen ${}x={\frac {1}{3}}$ und ${}x=5$ und die Hyperbel (also den Graph der Funktion ${}y={\frac {1}{x}}$) gegebene Gebiet gegen den Uhrzeigersinn umrandet. Berechne das Wegintegral über ${}\gamma$ zum (auf $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{>-1}$ definierten) Vektorfeld

${}F(x,y)=\left(\sin \left(x^{5}\right),\,\ln x+{\frac {1}{(1+y)^{2}}}\right)\,$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$P\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine komplexe Polynomfunktion. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion (jeweils aufgefasst als eine Funktion von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R}$) eine harmonische Funktion ist.