Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/15

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Damit eine Funktion differenzierbar ist muss sie stetig sein, die Ableitung muss jedoch nicht stetig sein, da man für die weiteren Ableitungen im Prinzip immer von der "Ursprungsfunktion" ausgeht, oder?

Antwort

Wie du richtig schreibst, folgt durch Korollar 14.6 aus der Differenzierbarkeit einer Funktion ihre Stetigkeit. Ihre Ableitung ist nicht unbedingt stetig - für ein Beispiel sieh dir zum Beispiel folgendes Video an: [1]. Deshalb ist Definition 15.2 wichtig und sinnvoll.

Das mit den höheren Ableitungen stimmt aber so nicht, wie du das schreibst. Eine Funktion die differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist, kann nicht zweimal differenzierbar sein. Eine Funktion, die ${}n$-mal differenzierbar ist, ist also auch mindestens ${}(n-1)$-mal stetig differenzierbar, denn die ${}n$-te Ableitung ist definiert als die Ableitung der ${}(n-1)$-ten Ableitung.

Studentenfrage

In dieser Vorlesung wird sehr oft ${}a<b$ für ein Intervall ${}[a,b]$ angegeben. Gibt es auch Intervalle wo ${}a>b$ gilt für ein Intervall ${}[a,b]$? Oder ist das komplett ausgeschlossen?

Antwort

Ein abgeschlossenes Intervall ${}[a,b]$ ist immer definiert als die Menge ${}[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$. Wir schließen in der Definition ${}b>a$ explizit aus. Wenn wir das nicht ausschließen würden wäre bei ${}b>a$ allerdings ${}[a,b]$ immer die leere Menge. Besonders interessant ist das also sowieso nicht.

Studentenfrage

Ich weiß nicht, wie man im Beweis von Satz 15.9 die Hilfsfunktion generieren kann. Kommt das direkt von der Regel von l'Hospital oder etwas anderes?

Antwort

Der Satz baut nicht auf der Regel von l'Hôpital auf (sondern umgekehrt). Die Hilfsfunktion hat also nichts mit der Regel von l'Hôpital zu tun sondern ist einfach definiert als

${}h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.$

Im Anschluss beweisen wir, dass es ein ${}c\in ]a,b[$ gibt mit ${}h'(c)=0$. Das heißt

${}h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)=0\,,$

also

${}{\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\,.$

Studentenfrage

In der Vorlesung ist die rede vom Mittelwertsatz und vom zweiten Mittelwertsatz. Warum gibt es nicht nur einen Mittelwertsatz?

Antwort

Das ist ein bisschen wie zu fragen, warum es nicht nur einen Harry-Potter-Roman gibt. Jemand hat eben einen weiteren interessanten mathematischen Zusammenhang gefunden und ihn als mathematischen Satz formuliert. Der zweite Mittelwertsatz ist auch auf jeden Fall eine Erweiterung des (ersten) Mittelwertsatzes, also auch nicht unnötig. Uns hilft er zum Beispiel die Regel von l'Hôpital zu beweisen.

Man kann sich jetzt überlegen, ob es sinnvoll ist, den zweiten Mittelwertsatz so zu nennen. Da die beiden Mittelwertsätze aber eng verwandte Aussagen sind, ist es durchaus sinnvoll, dass sie verwandte Namen tragen.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 15

Die einzige größere Fehlerquelle waren die Nullstellen und das Wachstum bei Aufgabe *****, bei den Nullstellen haben einige komplexe Nullstellen angegeben, was bei einer reellen Funktion natürlich nicht gefordert ist und beim Wachstum wusste keiner so wirklich was da gefordert ist. Es geht darum anzugeben auf welchen Teilintervallen welches Wachstumsverhalten vorliegt (wer nicht verstanden hat was das heißt, bitte auf den Link klicken).

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