Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesung 15

„Das Leben ist schön. Von einfach war nie die Rede.“

Höhere Ableitungen

Die Ableitung ${}f'$ einer (in jedem Punkt) differenzierbaren Funktion nennt man häufig auch die erste Ableitung von ${}f$ . Unter der nullten Ableitung versteht man die Funktion selbst. Höhere Ableitungen werden rekursiv definiert.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Die Funktion ${}f$ heißt ${}n$ -mal differenzierbar, wenn sie ${}(n-1)$ -mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$ -te Ableitung, also ${}f^{(n-1)}$ , differenzierbar ist. Die Ableitung

{}f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,

nennt man dann die ${}n$ -te Ableitung von ${}f$ .

Die zweite Ableitung schreibt man auch als ${}f^{\prime \prime }$ , die dritte Ableitung als ${}f^{\prime \prime \prime }$ . Wenn eine Funktion ${}n$ -mal differenzierbar ist, so sagt man auch, dass die Ableitungen bis zur ${}n$ -ten Ordnung existieren. Eine Funktion ${}f$ heißt unendlich oft differenzierbar, wenn sie ${}n$ -mal differenzierbar für jedes ${}n$ ist.

Eine differenzierbare Funktion ist nach Korollar 14.6 stetig, allerdings muss die Ableitung keineswegs stetig sein. Daher ist der folgende Begriff nicht überflüssig.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ differenzierbar ist und die Ableitung ${}f'$ stetig ist.

Eine Funktion heißt ${}n$ -mal stetig differenzierbar, wenn sie ${}n$ -mal differenzierbar ist und die ${}n$ -te Ableitung stetig ist.

Extrema von Funktionen

Wir untersuchen jetzt mit Mitteln der Differentialrechnung, wann eine differenzierbare Funktion

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,

wobei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall ist, (lokale) Extrema besitzt und wie ihr Wachstumsverhalten aussieht.

Satz

Es sei

f\colon {]a,b[}\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion, die in ${}c\in {]a,b[}$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.

Dann ist ${}f'(c)=0$ .

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}f$ ein lokales Maximum in ${}c$ besitzt. Es gibt also ein ${}\epsilon >0$ mit ${}f(x)\leq f(c)$ für alle ${}x\in [c-\epsilon ,c+\epsilon ]$ . Es sei ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit ${}c-\epsilon \leq s_{n}<c$ , die gegen ${}c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist ${}s_{n}-c<0$ und ${}f(s_{n})-f(c)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient

{}{\frac {f(s_{n})-f(c)}{s_{n}-c}}\geq 0\,,

was sich dann nach Lemma 7.11 auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist ${}f'(c)\geq 0$ . Für eine Folge ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}c+\epsilon \geq t_{n}>c$ gilt andererseits

{}{\frac {f(t_{n})-f(c)}{t_{n}-c}}\leq 0\,.

Daher ist auch ${}f'(c)\leq 0$ und somit ist insgesamt ${}f'(c)=0$ .

\Box

Man beachte, dass das Verschwinden der Ableitung nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extremums ist. Das einfachste Beispiel für dieses Phänomen ist die Funktion ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , ${}x\longmapsto x^{3}$ , die streng wachsend ist, deren Ableitung aber im Nullpunkt verschwindet.

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Der folgende Satz heißt Satz von Rolle.

Satz

Es sei ${}a<b$ und sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion mit ${}f(a)=f(b)$ .

Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}f'(c)=0\,.$

Beweis

Wenn ${}f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also ${}f$ nicht konstant. Dann gibt es ein ${}x\in {]a,b[}$ mit ${}f(x)\neq f(a)=f(b)$ . Sagen wir, dass ${}f(x)$ größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein ${}c\in [a,b]$ , wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ${}c$ ist dann ${}f'(c)=0$ nach Satz 15.3.

\Box

Der folgende Satz, der direkt aus dem Satz von Rolle folgt, heißt Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Satz

Es sei ${}a<b$ und sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion.

Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$

Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion

g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in ${}]a,b[$ differenzierbar. Ferner ist ${}g(a)=f(a)$ und

{}g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)\,.

Daher erfüllt ${}g$ die Voraussetzungen von Satz 15.4 und somit gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit ${}g'(c)=0$ . Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also

{}f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.

\Box

Korollar

Es sei

f\colon {]a,b[}\longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)=0$ für alle ${}x\in {]a,b[}$ .

Dann ist ${}f$ konstant.

Beweis

Wenn ${}f$ nicht konstant ist, so gibt es ${}x<x'$ mit ${}f(x)\neq f(x')$ . Dann gibt es aufgrund von Satz 15.5 ein ${}c$ , ${}x<c<x'$ , mit ${}f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}\neq 0$ , ein Widerspruch zur Voraussetzung.

\Box

Satz

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

Die Funktion ${}f$ ist genau dann auf ${}I$ wachsend (bzw. fallend), wenn ${}f'(x)\geq 0$ (bzw. ${}f'(x)\leq 0$ ) für alle ${}x\in I$ ist.

Wenn ${}f'(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng wachsend.

Wenn ${}f'(x)\leq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng fallend.

Beweis

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn ${}f$ wachsend ist, und ${}x\in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten

{}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geq 0\,

für jedes ${}h$ mit ${}x+h\in I$ . Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für ${}h\rightarrow 0$ , und dieser ist ${}f'(x)$ .
Es sei umgekehrt die Ableitung ${}\geq 0$ . Nehmen wir an, dass es zwei Punkte ${}x<x'$ in ${}I$ mit ${}f(x)>f(x')$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein ${}c$ mit ${}x<c<x'$ mit

{}f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}<0\,

im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun ${}f'(x)>0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen. Angenommen es wäre ${}f(x)=f(x')$ für zwei Punkte ${}x<x'$ . Da ${}f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist ${}f$ auf dem Intervall ${}[x,x']$ konstant. Somit ist ${}f'=0$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.

\Box

Korollar

Eine reelle Polynomfunktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

vom Grad ${}d\geq 1$ besitzt maximal ${}d-1$ lokale Extrema, und die reellen Zahlen lassen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.13.

\Box

Der zweite Mittelwertsatz und die Regel von l'Hospital

Die folgende Aussage heißt auch zweiter Mittelwertsatz.

Satz

Es sei ${}b>a$ und seien

f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit

{}g'(x)\neq 0\,

für alle ${}x\in {]a,b[}$ .

Dann ist ${}g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$

Beweis

Die Aussage

{}g(a)\neq g(b)\,

folgt aus Satz 15.4. Wir betrachten die Hilfsfunktion

{}h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.

Es ist

{}{\begin{aligned}h(a)&=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(a)\\&={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}\\&=f(b)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(b)\\&=h(b).\end{aligned}}

Also ist ${}h(a)=h(b)$ und Satz 15.4 liefert die Existenz eines ${}c\in {]a,b[}$ mit

{}h'(c)=0\,.

Umstellen ergibt die Behauptung.

\Box

Zur Berechnung von Grenzwerten einer Funktion, die als Quotient gegeben ist, ist die folgende Regel von l'Hospital hilfreich.

Korollar

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und ${}a\in I$ ein Punkt. Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

stetige Funktionen, die auf ${}I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit ${}f(a)=g(a)=0$ und mit ${}g'(x)\neq 0$ für ${}x\neq a$ . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

{}w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$

und sein Wert ist ebenfalls ${}w$ .

Beweis

Da ${}g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und ${}g(a)=0$ ist, besitzt auch ${}g$ nach Satz 15.4 außer ${}a$ keine Nullstelle. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}I\setminus \{a\}$ , die gegen ${}a$ konvergiert. Zu jedem ${}x_{n}$ gibt es nach Satz 15.9, angewandt auf ${}I_{n}:=[x_{n},a]$ bzw. ${}[a,x_{n}]$ , ein ${}c_{n}$ (im Innern^[1] von ${}I_{n}$ ) mit

{}{\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.

Die Folge ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls gegen ${}a$ , sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen ${}w$ , und wegen ${}f(a)=g(a)=0$ bedeutet das, dass ${}{\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}$ gegen ${}w$ konvergiert.