Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 54/latex
\setcounter{section}{54}
\zwischenueberschrift{Der Satz über implizite Abbildungen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schoenberg-ebringen-isohypsen.png} }
\end{center}
\bildtext {In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert.} }
\bildlizenz { Schoenberg-ebringen-isohypsen.png } {} {W-j-s} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Coast line east Karystos, Euboea, Greece.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Die Küstenlinie ist die Nullfaser der Höhenabbildung. In den regulären Punkten der Küste kann man eine Tangente anlegen und die Küste lokal als einen Graphen einer Funktion beschreiben. Ein singulärer Punkt einer Küste ergibt sich beispielsweise bei einer Meereserhebung, die genau in einem Punkt an die Wasseroberfläche stößt, oder einem Sattelpunkt zwischen \anfuehrung{zwei}{} Inseln, der sich auf Meeresniveau befindet\zusatzfussnote {Dass man solche singulären Punkte in der Natur nur selten antrifft, liegt daran, dass das Höhenprofil der Erde nur endlich viele kritische Punkte und damit nur endlich viele Gipfel und Sattelpunkte besitzt. Es ist daher unwahrscheinlich, dass der Meeresspiegel genau auf der Höhe eines solchen kritischen Punktes liegt. Wenn man aber Ebbe und Flut betrachtet, so werden solche Punkte immer wieder durchlaufen} {.} {.}} }
\bildlizenz { Coast line east Karystos, Euboea, Greece.jpg } {} {Straitgate} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
zwischen zwei Mengen
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
heißt zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{ y }
}
{ =} { { \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = y \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Faser}{} von $\varphi$ über $y$.
}
Die Faser zu einem Punkt ist also einfach das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(\{ y \} )}{} von $y$. Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die Faser über
\mathl{\varphi(P)}{} auch die \stichwort {Faser durch} {} $P$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sagt man statt Fasern auch \stichwort {Niveaumengen} {} oder, insbesondere bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auch \stichwort {Höhenlinien} {.} In meteorologischen Kontexten spricht man von Isothermen oder von Isobaren.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2+y^2
} {.}
Da diese nur nichtnegative Werte annimmt, sind die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{\R_-
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
leer. Die Faser zum Wert $0$ besteht aus dem einzigen Punkt
\mathl{(0,0)}{.} Die Faser zu einem positiven Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid x^2+y^2 = z \right\} }} { , }
das ist der Kreis mit dem Radius $\sqrt{z}$. Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(x_0,y_0)
}
{ \neq }{ (0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Faser
\zusatzklammer {oder die Niveaumenge} {} {}
durch diesen Punkt also ein Kreis $Z$. Eine hinreichend kleine offene Ballumgebung
\mathl{U { \left( P,\delta \right) }}{} von $P$ enthält nur einen Teil des Kreisbogens, der homöomorph zu einem offenen Intervall ist. Die differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {} {]a,b[} {\R^2
} {t} { \sqrt{x_0^2+y_0^2} \left( \cos t , \, \sin t \right)
} {}
\zusatzklammer {mit geeignet gewählten Intervallgrenzen} {} {}
induziert dabei eine Homöomorphie zwischen
\mathl{]a,b[}{} und dem Kreisbogenausschnitt
\mathl{Z \cap U { \left( P,\delta \right) }}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\maabbele {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,} eine Funktion in einer Variablen. Dazu kann man die Funktion in zwei Variablen,
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {y-f(x)
} {,}
betrachten. Die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
von $\varphi$ über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_c
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = f(x) +c \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
charakterisiert. D.h. die Faser über $c$ ist einfach der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
der durch
\mathl{x \mapsto f(x)+c}{} definierten Funktion. Alle Fasern gehen durch eine Verschiebung ineinander über, sie sind parallel zueinander. Die Punkte einer jeden Faser stehen in Bijektion mit der $x$-Achse, indem nämlich $x$ auf
\mathl{(x,f(x)+c)}{} abgebildet wird.
}
Der \stichwort {Satz über implizite Abbildungen} {} wird zeigen, dass unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Fasern einer Abbildung sich \stichwort {lokal} {} als \definitionsverweis {Graphen}{}{} von Abbildungen realisieren lassen.
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^n} {\R^m
} {}
mit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \varphi(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { ( \varphi_1 (x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , \varphi_m (x_1 , \ldots , x_n) )
}
{ =} { (y_1 , \ldots , y_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt unmittelbar zu einem Gleichungssystem
\mathdisp {y_1 = \varphi_1 (x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , y_m = \varphi_m (x_1 , \ldots , x_n)} { . }
Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems ist gerade die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ (y_1 , \ldots , y_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man kann sich fragen, wie zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ (y_1 , \ldots , y_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Lösungsmenge aussieht, welche Struktur sie hat und wie sie sich mit $y$ verändert. Das \anfuehrung{grobe Muster}{} zeigt sich schon deutlich bei einem \stichwort {linearen Gleichungssystem} {} in $n$ Variablen und $m$ Gleichungen. Dort sind bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq} { m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wenn die Gleichungen
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind, die Lösungsmengen
\mathl{(n-m)}{-}\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
\definitionsverweis {affine Untervektorräume}{}{}
des $\R^n$. Insbesondere sind alle Lösungsmengen gleich und besitzen die gleiche Dimension.
Das Bestimmen der Lösungsmengen ist im Allgemeinen sehr viel schwieriger als im linearen Fall und auch gar nicht effektiv durchführbar. Dennoch vermittelt die lineare Approximation durch das totale Differential den richtigen Ansatz für das Studium allgemeiner Fasern. Eine reichhaltige Strukturaussage über die Gestalt der Faser in einem Punkt $P$ ist nur dann zu erwarten, wenn das totale Differential in $P$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist. In diesem Fall ist der Kern des totalen Differentials, also die Lösungsmenge des durch diese lineare Abbildung gegebenen linearen Gleichungssystems, \stichwort {tangential} {} an die \definitionsverweis {Faser durch}{}{} $P$, und man kann auf hinreichend kleinen offenen Mengen eine Bijektion zwischen dem Kern und der Faser stiften.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Agate1_hg.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Der Querschnitt eines Achats. Die chemische Zusammensetzung variiert mit dem Ort und damit variiert auch die Frequenz des reflektierten Lichts, also die optische Erscheinung, mit dem Ort. Man sieht also die
\zusatzklammer {verdickten} {} {}
Fasern der Lichtabbildung.} }
\bildlizenz { Agate1 hg.jpg } {} {Hgrobe} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {\R^m
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ \varphi^{-1}(\varphi( P))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser durch}{}{}
$P$.}
\faktvoraussetzung {Das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P }}{} sei
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Menge
\mathbed {P \in W} {}
{W \subseteq G} {}
{} {} {} {,}
eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ \R^{n-m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine stetig differenzierbare Abbildung
\maabbdisp {\psi} {V} {W
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(V)
}
{ \subseteq }{ Z \cap W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und $\psi$ eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
\maabbdisp {\psi} {V} {Z \cap W
} {}
induziert.}
\faktzusatz {Die Abbildung $\psi$ ist in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
und für das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
von $\psi$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{ \psi(Q)} \circ \left(D\psi\right)_{Q}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des
\definitionsverweis {totalen Differentials}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{a }}{.} Aufgrund der vorausgesetzten
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{}
und der
Dimensionsformel
ist dies ein
$(n-m)$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $\R^n$. Durch einen Basiswechsel können wir annehmen, dass $K$ von den ersten
\mathl{n-m}{} Standardvektoren
\mathl{e_1 , \ldots , e_{n-m}}{} erzeugt ist
\zusatzklammer {Der Unterraum
\mathl{\langle e_{n-m+1} , \ldots , e_n \rangle}{} wird dann bijektiv auf $\R^m$ abgebildet} {} {.}
Es sei
\maabbeledisp {p} {\R^n} {\R^{n-m} = K
} {(x_1 , \ldots , x_n) } {(x_1 , \ldots , x_{n-m})
} {}
die
\definitionsverweis {lineare Projektion}{}{}
auf $K$ und es sei
\maabbeledisp {p \times \varphi} { G} {\R^{n-m} \times \R^m
} {(x_1 , \ldots , x_n) } { (x_1 , \ldots , x_{n-m}, \varphi_1(x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , \varphi_{m} (x_1 , \ldots , x_n) )
} {,}
die zusammengesetzte Abbildung. Diese ist selbst stetig differenzierbar und das totale Differential davon im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist bijektiv, so dass wir darauf den
Satz über die Umkehrabbildung
anwenden können. Es gibt also offene Umgebungen
\mathbed {a \in U_1} {}
{U_1 \subseteq G} {}
{} {} {} {,}
und
\mathbed {(p(a), \varphi(a)) \in U_2} {}
{U_2 \subseteq \R^{n-m} \times \R^m} {}
{} {} {} {,}
derart, dass die eingeschränkte Abbildung
\maabbdisp {(p \times \varphi) {{|}}_{ U_1 }} { U_1 } { U_2
} {}
bijektiv ist mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung. Für die offene Menge $U_2$ gibt es offene Mengen
\mathdisp {(a_1 , \ldots , a_{n-m}) \in V \subseteq \R^{n-m} \text{ und } \varphi(a) =
(b_1 , \ldots , b_{m}) \in V' \subseteq \R^m} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V \times V'
}
{ \subseteq} { U_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir können den
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
\mathl{(p \times \varphi) {{|}}_{ U_1 }}{} auf das
\zusatzklammer {offene} {} {}
Urbild $W$ von
\mathl{V \times V'}{} einschränken.
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}G & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \R^{n-m} \times \R^m & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & \R^m & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
bzw. die Einschränkung davon
\mathdisp {\begin{matrix}W & \stackrel{ }{\longrightarrow} & V \times V' & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & V' & \!\!\!\!\! \!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
Die Faser über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{ \varphi (a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{V \times \{ (b_1 , \ldots , b_m) \}}{.} Diese Menge steht über die horizontale Abbildung
\mathl{p \times \varphi}{} in Bijektion mit der Faser von $\varphi$ über $b$, also mit
\mathl{Z \cap W}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} {V} { W
} {(x_1 , \ldots , x_{n-m}) } { (p \times \varphi)^{-1} ( x_1 , \ldots , x_{n-m} ,b_1 , \ldots , b_m)
} {.}
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \varphi(\psi( x_1 , \ldots , x_{n-m} ))
}
{ =} { \varphi ( (p \times \varphi)^{-1} ( x_1 , \ldots , x_{n-m} ,b_1 , \ldots , b_m))
}
{ =} { ( b_1 , \ldots , b_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
so dass das Bild von $\psi$ in der Tat in
\mathl{Z \cap W}{} landet. Die
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
von $\psi$ ist klar. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ \in }{ Z \cap W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( x_1 , \ldots , x_n )
}
{ =} { ( b_1 , \ldots , b_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (p \times \varphi)( x_1 , \ldots , x_n )
}
{ =} { ( x_1 , \ldots , x_{n-m} , b_1 , \ldots , b_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi ( x_1 , \ldots , x_{n-m})
}
{ =} {( x_1 , \ldots , x_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Bild von $\psi$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Abbildung
\maabbdisp {\psi} { V } { W
} {}
ist nach Konstruktion stetig differenzierbar und das totale Differential ist in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
injektiv, da $\psi$ die Hintereinanderschaltung einer affin-linearen Injektion und eines Diffeomorphismus ist. Da
\mathl{\psi(V)}{} in der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
von $\varphi$ über $b$ liegt, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi
}
{ = }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konstant. Nach der
Kettenregel
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{\psi(Q)} \circ \left(D\psi\right)_{Q}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
Die Bedingung, dass das totale Differential surjektiv ist, kann man auch so ausdrücken, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und dass der Punkt $P$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist.
\inputbemerkung
{}
{
Den
Satz über implizite Abbildungen
kann man auch so formulieren: Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und es sei
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, in dem das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{a}}{}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sei, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{E_1 \oplus E_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
von $V$ in Untervektorräume
\mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a
}
{ = }{ (a_1,a_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_1
}
{ = }{ \operatorname{kern} \left(D\varphi\right)_{a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\left(D\varphi\right)_{a} |_{E_2}}{} surjektiv
\zusatzklammer {und damit bijektiv ist} {} {}
ist
\zusatzklammer {dadurch ist $E_1$, aber nicht $E_2$ eindeutig festgelegt} {} {.}
Dann gibt es offene Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1
}
{ \in }{ U_1
}
{ \subseteq }{ E_1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_2
}
{ \in }{ U_2
}
{ \subseteq }{ E_2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 \times U_2
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\theta} {U_1} {U_2
} {}
derart, dass der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $\theta$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ =} { { \left\{ (x,\theta (x)) \mid x \in U_1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
mit der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{\varphi(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
geschnitten mit
\mathl{U_1 \times U_2}{,} also
\mathdisp {{ \left\{ (x,v) \in U_1 \times U_2 \mid \varphi(x,v) = b \right\} }} { , }
übereinstimmt. Sind auf
\mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {}
jeweils
\definitionsverweis {Basen}{}{}
fixiert mit
\definitionsverweis {Koordinaten}{}{}
\mathl{(x_1 , \ldots , x_{n-m})}{} bzw.
\mathl{(v_1 , \ldots , v_{m})}{}
\zusatzklammer {\mathkork {} {n} {und} {m} {}
seien die Dimensionen von
\mathkork {} {V} {und} {W} {}} {} {,}
so wird lokal die Faser durch den Graphen von $m$ Funktionen
\mathl{\theta_1 , \ldots , \theta_m}{} in den
\mathl{n-m}{} Variablen
\mathl{(x_1 , \ldots , x_{n-m})}{} gegeben. Die Faser ist dann nach den Variablen
\mathl{(v_1 , \ldots , v_{m})}{} \anfuehrung{aufgelöst}{,} d.h. diese Koordinaten lassen sich unter der impliziten Bedingung, dass die Punkte zur Faser gehören sollen, explizit durch die anderen, frei wählbaren Koordinaten
\mathl{(x_1 , \ldots , x_{n-m})}{} ausdrücken.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, in dem das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sei, und sei $Y$ die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
von $\varphi$ durch $P$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_P Y
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Tangentialraum}{} an die Faser $Y$ in $P$.
}
Häufig wird auch der an $P$ angelegte
\definitionsverweis {affine Raum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P + \operatorname{kern} \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ =} { { \left\{ P+v \mid { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Tangentialraum bezeichnet. In diesem Sinne ist der Tangentialraum kein Untervektorraum von $V$, da er nicht durch den Nullpunkt verlaufen muss, er ist aber die Verschiebung eines Untervektorraums. Solche Räume nennt man \stichwort {affin-lineare Unterräume} {.} Sie besitzen eine sinnvoll definierte Dimension, nämlich die Dimension des zugehörigen Vektorraumes. Der Tangentialraum an einem regulären Punkt zu einer Abbildung
\maabb {\varphi} {\R^n} {\R^m
} {}
besitzt die Dimension
\mathl{n-m}{.} Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass eine offene Teilmenge des Tangentialraumes an $P$ sich bijektiv und differenzierbar auf eine offene Umgebung von $P$ auf der Faser abbilden lässt. Der Tangentialraum ist also eine \stichwort {lineare Approximation} {} der Faser.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R \times ( \R \setminus \{0\} ) } {\R
} {(x,y)} { { \frac{ x }{ y } }
} {.}
Die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
dieser Funktion ist
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 1 }{ y } } , - { \frac{ x }{ y^2 } } \right) }} { , }
so dass die Funktion in jedem Punkt
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist und der
Satz über implizite Abbildungen
anwendbar ist. In diesem Fall kann man die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
auch direkt bestimmen. Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ y } }
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{cy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass die Fasern der Abbildung die \stichwort {punktierten Geraden} {}
\zusatzklammer {d.h. ein Punkt ist rausgenommen} {} {}
durch den Nullpunkt sind
\zusatzklammer {außer der $x$-Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist} {} {.}
Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach $x$ gegeben. Dass die Fasern unter dieser \stichwort {Divisionsabbildung} {}
\zusatzklammer {punktierte} {} {}
Geraden sind ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern.
Der
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor
\mathl{(x,y)}{} selbst
\definitionsverweis {aufgespannt}{}{.}
Der Tangentialraum an $P$ ist hier also die Gerade, die durch $P$ und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt
\zusatzklammer {bis auf den Nullpunkt} {} {}
mit der Faser überein.
}
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {1 durch Ln.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Fasern der Abbildung \mathlk{(x,y) \mapsto x^y}{} für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{c
}
{ = }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
(rot) und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{c
}
{ = }{-e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
(grün).} }
\bildlizenz { 1 durch Ln.svg } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R} { \R
} {(x,y)} { x^y
} {}
und knüpfen an
Beispiel 52.4
an. Der einzige
\definitionsverweis {kritische Punkt}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
als Graphen beschreiben. Die Faser über $1$ besteht aus der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden und der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^y
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
bestimmt
\zusatzklammer {für nichtpositives $c$ sind die Fasern leer} {} {.}
Wir schreiben diese Bedingung als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{ ( \ln x ) y }
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \ln x ) y
}
{ =} { \ln c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man dies zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ { \frac{ \ln c }{ \ln x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auflösen und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { e^{ { \frac{ \ln c }{ y } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entsprechen.
}
\zwischenueberschrift{Der Satz über die injektive Abbildung}
Als ein weiteres Korollar aus dem Satz über die Umkehrabbildung besprechen wir die Situation, wo das totale Differential injektiv ist.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Satz über die injektive Abbildung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt,}
\faktvoraussetzung {in dem das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
$U$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass
\mathl{\varphi {{|}}_{U}}{} injektiv ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
des totalen Differentials
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Nach
Fakt ***** (1)
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( B \right) }
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir
ergänzen
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $B$ durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-k}}{} zu einer Basis von $W$ und setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ \langle w_1 , \ldots , w_{n-k} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} {G \times C} {W
} {(v,w)} { \varphi(v) +w
} {,}
wobei links und rechts zwei $n$-dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {G \times C \stackrel{\varphi \times \operatorname{Id}_C \, }{\longrightarrow} W \times C \stackrel{+}{ \longrightarrow} W} { }
auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
und das totale Differential ist
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P} + i_C}{,} wobei
\maabb {i_C} {C} {W
} {}
die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
im Punkt
\mathl{(P,0)}{,} da sowohl $B$ als auch $C$ zum Bild gehören, und somit
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
Wir können also
den Satz über die Umkehrabbildung
anwenden und erhalten
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ \subseteq }{ G \times C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_2
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{(\varphi \times \operatorname{Id}_C) {{|}}_{U_1}}{} ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
zwischen
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_3 \times U_4
}
{ \subseteq }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U_3
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ U_4
}
{ \subseteq }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist die Abbildung
\maabbdisp {\varphi {{|}} _{U_3}} {U_3} {W
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da dies die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {U_3 \longrightarrow U_3 \times U_4 \longrightarrow U_2 \subseteq W} { }
mit
\mathl{Q \mapsto (Q,0)}{} ist.