Kurs:Mathematik für Anwender I/5/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$ .
Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$ -Vektorraumes ${}V$ .
Eine lineare Abbildung
$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen den ${}K$ -Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ .
Eine invertierbare ${}n\times n$ -Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$ .
Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ .
Die geometrische Reihe für ${}x\in \mathbb {R}$ .
Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt
${}a\in \mathbb {R}$ .
Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
Das Quotientenkriterium für eine Reihe.
Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$ , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

{}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es seien die beiden Polynome

P=X^{2}+3X-5\,\,{\text{  und }}\,\,Q=X^{2}-4X+7

gegeben.

a) Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von ${}P(Q)$ direkt und mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

{}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

{\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}W$ ein ${}n$ -dimensionaler ${}K$ - Vektorraum ( ${}K$ ein Körper) und seien ${}U,V\subseteq W$ Untervektorräume der Dimension ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=r$ und ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=s$ . Es gelte ${}r+s>n$ . Zeige, dass ${}U\cap V\neq 0$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Summe

\sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$ , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$ , in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.