Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/45/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Eine reelle \stichwort {Intervallschachtelung} {.}
}{Eine
\stichwort {Treppenfunktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Die
\stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}
}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Der Binomialkoeffizient ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k }
}
{ =} {{ \frac{ n ! }{ k ! ( n - k)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Eine Folge von abgeschlossenen
\definitionsverweis {Intervallen}{}{}
\mathdisp {I_n =[a_n ,b_n], \, n \in \N} { , }
in $\R$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_{n+1}
}
{ \subseteq }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n \in \N}{} ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
\mathdisp {{ \left( b_n-a_n \right) }_{ n \in \N }} { , }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}{Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
\mathdisp {a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b} { }
von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall
\mathl{]a_{i-1},a_{i}[}{}
\definitionsverweis {konstant}{}{}
ist.
}{Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn
\definitionsverweis {Ober}{}{-}
und
\definitionsverweis {Unterintegral}{}{}
von $f$ existieren und übereinstimmen.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i \in I \rangle
}
{ =} { { \left\{ \sum_{i \in J} s_i v_i \mid s_i \in K , \, J \subseteq I \text{ endliche Teilmenge} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
}{Den Exponenten des linearen Polynoms
\mathl{X - \lambda}{} im
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ nennt man die
algebraische Vielfachheit
von $\lambda$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die geometrische Reihe.}{Die
\stichwort {Taylor-Formel} {}
für eine
\mathl{(n+1)}{-}mal
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall $I \subseteq \R$ für einen inneren Punkt
\mathl{a \in I}{.}}{Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für alle reellen Zahlen $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert die Reihe
\mathl{\sum^\infty_{k = 0} x^k}{} absolut und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum^\infty_{k = 0} x^k
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1-x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Zu jedem Punkt
\mathl{x \in I}{} gibt es ein
\mathl{c \in I}{} mit
\mathdisp {f( x) = \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k } + \frac{ f^{ (n+1) } ( c )}{ (n+1)! } (x-a)^{ n+1 }} { . }
}{Es sei $K$ ein Körper,
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien $K$-Vektorräume und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ injektiv genau dann, wenn
\mathl{\operatorname{kern} \varphi=0}{} ist.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch \anfuehrung{Extremfälle}{} berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
}
{Mathematik/Extremfälle/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme
\mathdisp {{ \left( { \left( { \left( { \left( { \left( { \frac{ 3 }{ 7 } } \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1}} { . }
}
{
Das ist
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 3 } }}{,} da sich beim Inversennehmen Zähler und Nenner vertauschen und fünfmal das Inverse genommen wird.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\prod_{k = 2}^n { \left( 1- { \frac{ 1 }{ k^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch vollständige Induktion
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{
Induktionsanfang. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht links
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1- { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und rechts ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2+1 }{ 4 } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Gleichheit für ein bestimmtes $n$ gilt. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \prod_{k = 2}^{n+1} { \left( 1- { \frac{ 1 }{ k^2 } } \right) }
}
{ =} { { \left( \prod_{k = 2}^{n} { \left( 1- { \frac{ 1 }{ k^2 } } \right) } \right) } \cdot { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ (n+1)^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } \cdot { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ (n+1)^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } \cdot { \frac{ (n+1)^2-1 }{ (n+1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } \cdot { \frac{ n^2+2n+1-1 }{ (n+1)^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } \cdot { \frac{ n (n+2) }{ (n+1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ n+2 }{ 2(n+1) } }
}
{ =} { { \frac{ (n+1)+1 }{ 2(n+1) } }
}
{ } {}
}
{}{.}
Dies ist der rechte Ausdruck für
\mathl{n+1}{} und die Aussage ist bewiesen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
\aufzaehlungvier{Es sei $H$ die Menge aller \zusatzklammer {lebenden oder verstorbenen} {} {} Menschen. Untersuche die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {H} {H } {,} die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität. }{Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung $\varphi^3$? }{Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge $E$ aller Einzelkinder und auf die Menge $M$ aller Mütter einschränkt? }{Seien Sie spitzfindig \zusatzklammer {evolutionsbiologisch oder religiös} {} {} und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist. }
}
{
\aufzaehlungvier{Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
}{Die Abbildung $\varphi^3$ ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
}{Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
}{Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge
\mathbed {\varphi^n(x)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass
\mathl{\varphi^n(x)}{} schon ein Mensch ist, aber
\mathl{\varphi^{n+1}(x)}{} noch nicht. Für
\mathl{\varphi^n(x)}{} ist dann die Abbildung nicht definiert.
Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind. }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Unterteile die Strecke von
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 7 } }}{} nach
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{} rechnerisch in drei gleichlange Strecken.
}
{
Die Länge der Strecke ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 4 } } - { \frac{ 2 }{ 7 } }
}
{ =} { { \frac{ 21-8 }{ 28 } }
}
{ =} { { \frac{ 13 }{ 28 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der dritte Teil davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 13 }{ 3 \cdot 28 } }
}
{ =} { { \frac{ 13 }{ 84 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Unterteilungspunkte, die die Strecke in drei gleichlange Stücke unterteilen, sind daher
\mathdisp {{ \frac{ 2 }{ 7 } } ,\, { \frac{ 2 }{ 7 } } + { \frac{ 13 }{ 84 } } = { \frac{ 24+ 13 }{ 84 } } = { \frac{ 37 }{ 84 } } ,\, { \frac{ 2 }{ 7 } } + 2 \cdot { \frac{ 13 }{ 84 } } = { \frac{ 24+ 26 }{ 84 } } = { \frac{ 50 }{ 84 } } = { \frac{ 25 }{ 42 } } ,\, { \frac{ 3 }{ 4 } }} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Der Energiebedarf
\zusatzklammer {durch Nahrung} {} {}
eines Menschen beträgt pro Tag etwa
\mathl{12.000 \, kJ}{}
\zusatzklammer {Kilojoule} {} {.}
Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa $3 kWh$ pro $m^2$
\zusatzklammer {$3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter} {} {.}
Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?
}
{
Eine Kilowattstunde sind
\mathl{3600 kJ}{,} die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3 \cdot 3600
}
{ = }{ 10 800
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 12000 }{ 10800 } }
}
{ =} { { \frac{ 10 }{ 9 } }
}
{ =} { 1,11...
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Quadratmeter pro Person.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien $n$ verschiedene Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom $Q$ vom Grad $n$ gibt, das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(a_i)
}
{ = }{b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ erfüllt.
}
{
Nach
dem Interpolationssatz für Polynome
gibt es ein Polynom $P$ vom Grad $\leq n-1$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(a_i)
}
{ = }{b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$. Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { (X-a_1)(X-a_2) \cdots (X-a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad $n$, das an den Stellen $a_i$ den Wert $0$ annimmt. Deshalb ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ \defeq} { P+R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein normiertes Polynom vom Grad $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(a_i)
}
{ =} { P(a_i) + R(a_i)
}
{ =} { b_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien
\mathkor {} {Q} {und} {Q'} {}
normierte Polynome vom Grad $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(a_i)
}
{ = }{b_i
}
{ = }{Q'(a_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt
\mathl{Q-Q'}{} einen Grad $\leq n-1$, das an den $n$ Stellen den Wert $0$ besitzt. Deshalb ist es nach
Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
das Nullpolynom und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Untersuche die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=0}^{\infty} { \frac{ 4n-9 }{ 2n^3-5n^2-6n+2 } }} { }
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{
Für den Zähler gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4n-9
}
{ \leq} { 4n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n^3
}
{ \geq }{ 11 n^2
}
{ = }{5n^2+6n^2
}
{ \geq }{5n^2+6n
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
somit gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für den Nenner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2n^3-5n^2-6n+2
}
{ \geq} { 2n^3-5n^2-6n
}
{ \geq} { n^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit gilt insgesamt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 4n-9 }{ 2n^3-5n^2-6n+2 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 4n }{ n^3 } }
}
{ =} { 4 { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund des
des Majorantenkriteriums
und
[[Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel/Beispielreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
konvergiert die Reihe.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
}
{
Das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Exponentialreihen ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty c_{ n }} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ n } \frac{x^{i} }{i!} \frac{ y^{n-i } }{ (n-i)!}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Reihe ist nach
Lemma 12.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{}
und der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von
\mathl{x+y}{} nach
Satz 4.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{(x+y)^n}{n!}
}
{ =} { \frac{1}{n!} \sum_{ i = 0 }^{ n } \binom { n } { i } x^{i} y^{n-i}
}
{ =} { c_n
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es bezeichne (1) die Stetigkeit von $f$ im Punkt $x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen $x$ konvergente Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (1) erfüllt und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $\R$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ =} { f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x_n,x)
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
\mathdisp {d(f(x_n), f(x)) \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0} { , }
sodass die Bildfolge gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert
\mathl{f(z)}{} unter der Abbildung aber zu
\mathl{f(x)}{} einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
\mathbed {\delta=1/n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {.}
D.h. für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {d(x_n ,x) \leq \frac{1}{n} \text{ und mit } d(f(x_n), f(x)) > \epsilon} { . }
Diese so konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
\mathl{f(x)}{,} da der Abstand der Bildfolgenglieder zu
\mathl{f(x)}{} zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von $17$ ist?
}
{
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x^3 -5 x^2
}
{ =} { \sqrt[7]{17}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(6)
}
{ = }{ (6-5) 25
}
{ = }{ 25
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{\sqrt[7]{17}
}
{ \leq }{ 25
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $f$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach
dem Zwischenwertsatz
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{\sqrt[7]{17}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{} keine Exponentialfunktion sein muss.
}
{
Wir betrachten die Hintereinanderschaltung der Exponentialfunktion
\zusatzklammer {zur Basis $e$} {} {}
mit sich selbst, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { e^{(e^x)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und behaupten, dass dies keine Exponentialfunktion ist, also nicht von der Form
\mathl{b^x}{} mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Falls doch, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{(e^x)}
}
{ =} { b^x
}
{ =} { e^{ x \ln b }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $x$. Wegen der Injektivität der Exponentialfunktion bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^x
}
{ =} { x \ln b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Doch dies würde bedeuten, dass die Exponentialfunktion linear ist, was sicher nicht der Fall ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu
\zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.}
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}
-
a) -
b) -
c)
-
d) -
e) -
f)
}
{
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1 : \, b} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1 : \, a} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1 : \, d} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1 : \, e} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1 : \, c} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1 : \, f} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^x} {,} die Extrema.
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f(x)
}
{ =} { 2^x + 2^{-x}
}
{ =} { e^{x \ln 2 } +e^{ - x \ln 2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { ( \ln 2 ) e^{x \ln 2 } - ( \ln 2) e^{ - x \ln 2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
führt durch Multiplikation mit
\mathl{e^{x \ln 2 }}{} und Division durch
\mathl{\ln 2}{} (die beide nicht
\mathl{0}{} sind) auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { e^{ 2 x \ln 2 } - 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{ 2 x \ln 2 }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 x \ln 2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt. Die zweite Ableitung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { ( \ln 2 ) { \left( ( \ln 2 ) e^{x \ln 2 } + ( \ln 2) e^{ - x \ln 2 } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und somit positiv, also liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat, ist dieses Minimum das einzige Minimum und daher ein globales Minimum und es gibt keine Maxima.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme den Flächeninhalt des durch die $x$-Achse und den Graphen von $f$ eingeschränkten Gebietes.
}
{
Die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-3x-2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { 2 +{ \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 17 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit sind die Nullstellen dieses Polynoms gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{17} +3 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Intervall
\mathl{[{ \frac{ - \sqrt{17} +3 }{ 2 } } ,{ \frac{ \sqrt{17} +3 }{ 2 } } ]}{} ist $f$ negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ { \frac{ - \sqrt{17} +3 }{ 2 } } }^{ { \frac{ \sqrt{17} +3 }{ 2 } } } x^2-3x-2 \, d x
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2-2x \right) | _{ { \frac{ - \sqrt{17} +3 }{ 2 } } } ^{ { \frac{ \sqrt{17} +3 }{ 2 } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( \left( \frac{ \sqrt{17} +3 }{ 2 } \right)^3 - \left( \frac{ - \sqrt{17} +3 }{ 2 } \right)^3 \right) } - { \frac{ 3 }{ 2 } } { \left( \left( \frac{ \sqrt{17} +3 }{ 2 } \right)^2 - \left( \frac{ - \sqrt{17} +3 }{ 2 } \right)^2 \right) } -2 { \left( \left( \frac{ \sqrt{17} +3 }{ 2 } \right) - \left( \frac{ - \sqrt{17} +3 }{ 2 } \right) \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( { \frac{ 17 \sqrt{17} }{ 4 } } + { \frac{ 27 \sqrt{17} }{ 4 } } \right) } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \cdot 6 \sqrt{17} -2 \sqrt{17}
}
{ =} { - { \frac{ 22 }{ 3 } } \sqrt{17}
}
}
{}
{}{.}
Der Flächeninhalt ist also gleich ${ \frac{ 22 }{ 3 } } \sqrt{17}$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {- 5 x - { \frac{ 1 }{ 3 } } y = 1 \text{ und } - 7 x+ { \frac{ 1 }{ 2 } }y = { \frac{ 2 }{ 3 } }} { . }
}
{
Wir addieren zur ersten Gleichung das
\mathl{- { \frac{ 5 }{ 7 } }}{-}fache der zweiten Gleichung und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 29 }{ 42 } } y
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 21 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} {- { \frac{ 22 }{ 29 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 15 } } y - { \frac{ 1 }{ 5 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 15 } } \cdot { \frac{ 22 }{ 29 } } - { \frac{ 1 }{ 5 } }
}
{ =} { { \frac{ 22-87 }{ 435 } }
}
{ =} { - { \frac{ 65 }{ 435 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { - { \frac{ 13 }{ 87 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ =} { \varphi(0+0)
}
{ =} { \varphi(0) + \varphi(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Addition mit dem negativen Element zu
\mathl{\varphi(0)}{,} also mit $- \varphi(0)$, ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n b_{kj} w_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { (a_{ji})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { (b_{kj})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{u_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} { \left( \sum_{k = 1}^n b_{kj} w_k \right) }
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n { \left( \sum_{j = 1}^n b_{kj} a_{ji} \right) } w_k
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der Koeffizient vor $w_k$ ist dabei das Produkt aus der $k$-ten Zeile von
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{} und der $i$-ten Spalte von
\mathl{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }}{,} und dies ist der Eintrag
\mathl{{ \left( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } \right) }_{ik}}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -5 & -1 & 0 \\0 & 0 & 11 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
und ob sie
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{
Das charakteristische Polynom der Matrix ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-4 & -3 & 0 \\ 5 & X+1 & 0 \\0 & 0 & X-11 \end{pmatrix}
}
{ =} { ( (X-4)(X+1)+15) (X-11)
}
{ =} { ( X^2-3X+11) (X-11)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Den vorderen Faktor schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2-3X+11
}
{ =} { { \left( X- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 9 }{ 4 } } +11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daran erkennt man, dass dieses Polynom keine reelle Nullstelle besitzt und somit nicht in Linearfaktoren zerfällt. Also ist die Matrix nicht trigonalisierbar und somit auch nicht diagonalisierbar.
}