Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/45/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 3 4 4 3 2 4 3 4 7 2 3 2 4 4 2 1 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Eine reelle Intervallschachtelung.
  3. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .

  5. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  6. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  2. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  3. Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.

  4. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
  5. Man nennt

    den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.

  6. Den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom nennt man die algebraische Vielfachheit von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die geometrische Reihe.
  2. Die Taylor-Formel für eine -mal differenzierbare Funktion
    auf einem reellen Intervall für einen inneren Punkt .
  3. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

  1. Für alle reellen Zahlen mit konvergiert die Reihe absolut und es gilt
  2. Zu jedem Punkt gibt es ein mit
  3. Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
    sei eine -lineare Abbildung. Dann ist injektiv genau dann, wenn ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.


Lösung Mathematik/Extremfälle/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige

durch vollständige Induktion ().


Lösung

Induktionsanfang. Für steht links

und rechts ebenfalls

Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Gleichheit für ein bestimmtes gilt. Dann ist

Dies ist der rechte Ausdruck für und die Aussage ist bewiesen.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
  2. Die Abbildung ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
  3. Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
  4. Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge , , einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein derart, dass schon ein Mensch ist, aber noch nicht. Für ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Unterteile die Strecke von nach rechnerisch in drei gleichlange Strecken.


Lösung

Die Länge der Strecke ist

Der dritte Teil davon ist

Die Unterteilungspunkte, die die Strecke in drei gleichlange Stücke unterteilen, sind daher


Aufgabe (2 Punkte)

Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa pro ( Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?


Lösung

Eine Kilowattstunde sind , die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also

Quadratmeter pro Person.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und seien verschiedene Zahlen und Zahlen gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom vom Grad gibt, das für alle erfüllt.


Lösung

Nach dem Interpolationssatz für Polynome gibt es ein Polynom vom Grad mit für alle . Wir betrachten das Polynom

Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert annimmt. Deshalb ist

ein normiertes Polynom vom Grad mit

womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien und normierte Polynome vom Grad mit . Dann besitzt einen Grad , das an den Stellen den Wert besitzt. Deshalb ist es nach Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) das Nullpolynom und somit ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die Reihe

auf Konvergenz.


Lösung

Für den Zähler gilt

für alle . Für gilt , somit gilt für für den Nenner

Damit gilt insgesamt für die Abschätzung

Aufgrund des des Majorantenkriteriums und Beispiel 9.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) konvergiert die Reihe.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.


Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

mit . Diese Reihe ist nach Lemma 12.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von gleich

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).


Aufgabe (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ist?


Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.


Lösung

Wir betrachten die Hintereinanderschaltung der Expnentialfunktion (zur Basis ) mit sich selbst, also

und behaupten, dass dies keine Exponentialfunktion ist, also nicht von der Form mit einer Basis ist. Falls doch, so wäre

für alle . Wegen der Injektivität der Exponentialfunktion bedeutet dies

Doch dies würde bedeuten, dass die Exponentialfunktion linear ist, was sicher nicht der Fall ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).





Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion

die Extrema.


Lösung

Wir schreiben

Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist

Die Bedingung führt durch Multiplikation mit und Division durch (die beide nicht sind) auf

Daher muss

sein, woraus sich

also ergibt. Die zweite Ableitung ist

und somit positiv, also liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat, ist dieses Minimum das einzige Minimum und daher ein globales Minimum und es gibt keine Maxima.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme den Flächeninhalt des durch die -Achse und den Graphen von eingeschränkten Gebietes.


Lösung

Die Gleichung

ist äquivalent zu

somit sind die Nullstellen dieses Polynoms gleich

Im Intervall ist negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals

Der Flächeninhalt ist also gleich .


Aufgabe (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Lösung

Wir addieren zur ersten Gleichung das -fache der zweiten Gleichung und erhalten

bzw.

Daher ist


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Zeige .


Lösung

Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist

Addition mit dem negativen Element zu , also mit , ergibt


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

stehen.


Lösung

Es sei

und

Dann ist

und

Somit ist

Der Koeffizient vor ist dabei das Produkt aus der -ten Zeile von und der -ten Spalte von , und dies ist der Eintrag .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Den vorderen Faktor schreiben wir als

Daran erkennt man, dass dieses Polynom keine reelle Nullstelle besitzt und somit nicht in Linearfaktoren zerfällt. Also ist die Matrix nicht trigonalisierbar und somit auch nicht diagonalisierbar.