Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Radioaktivität und Risikoliteralität/Modellierungszyklen

Allgemeine Ziele

Ziel: Risikobewusstsein für die Gefahren radioaktiver Strahlung erhöhen
Erster Modellierungszyklus: Fokussierung auf Zeitaspekt
Zweiter Modellierungszyklus: Fokussierung auf die räumliche Gefahr, die von Atomkraftwerken ausgeht
Dritter Modellierungszyklus: Verbindung der zeitlichen und räumlichen Gefahr
⇒ Aufklärung der SchülerInnen bzw. BürgerInnen um Risiken und Nutzen von Kernenergie abwägen zu können
Allgemeine Diskussion Politik über Nutzung von Kernkraftwerken als Alternative zur Kohlekraftwerken

Modellierungszyklus 1 - Sekundarstufe 1

Modellierung des exponentiellen Zerfalls von radioaktiven Stoffen
Veranschaulichung der zeitlichen Spanne, die Zerfallsprozesse einnehmen können

Ziel

Bewusstsein für Radioaktivität schaffen
Zufallsgesteuerten Prozess sichtbar machen

⇒ Ergibt e-Funktion

Inhaltliche Beschreibung

Betrachtung einer großen Anzahl radioaktiver Nuklide, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zerfallen
Feste Zeitintervalle mit einer jeweils konstanten Zerfallswahrscheinlichkeit
Plotten der Anzahl zerfallener Nuklide in Abhängigkeit von der Zeit
Vergleich mit einer realen Zerfallskurve (durch Halbwertszeit und Anfangsanzahl)
Zufallsexperiment: Würfelmodell SuS sammeln erste Erfahrungen mit Radioaktivität und radioaktivem Zerfall
Material: Vorgegebene Anzahl an Würfeln
Anzahl der Würfel = Anzahl radioaktiver Teilchen

Mathematisches Modell

Laplace Experiment: Würfelwurf
- Ergebnismenge $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$
- Wahrscheinlichkeit für das Ereignis eine bestimmte Augenzahl zu würfeln $P(\{6\})={\frac {1}{6}}$
- Wahrscheinlichkeit für das Ereignis einer anderen Augenzahlen $P(\{1,2,3,4,5\})={\frac {5}{6}}$
- Nach dem ersten Wurf: Anzahl der verbleibenden Würfel = Anzahl aller Würfel • Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln
- Anzahl der verbleibenden Würfel $N$ nach dem n-ten Wurf bei $N_{0}$ Würfel zu Beginn: $N=N_{0}\cdot ({\frac {5}{6}})^{n}$ .

Schlussfolgerung

Gleichung ähnelt Exponentialgleichung
Exponentielle Abnahme: $A(t)=A_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}$ mit Zeitspanne $\tau$ und dem Wert $A_{0}$ der Größe $A$ zu Beginn

Konkretes Vorgehen

Schritt 1: Festlegen einer Augenzahl(z.B. 6) und Würfeln aller Würfel
Schritt 2: Entfernen aller Würfel mit der Augenzahl 6
Schritt 3: Anzahl der zu entfernenden und verbleibenden Würfeln in eine Tabelle eintragen
- Anzahl zu entfernende Würfel= Anzahl der zerfallenen radioaktiven Teilchen
- Anzahl verbleibende Würfel = noch vorhandene radioaktive Teilchen
Schritt 2 und 3 werden solange wiederholt bis keine Würfel mehr übrig sind

Software

Tabellenkalkulation mit LibreOffice Calc

Beschreibung

Anzahl der Startatome = Anzahl der Zeilen

Codierung der Spalten: Atom zerfallen = 1 ; Atom noch vorhanden = 0

Erster Zeitschritt

Zuweisung 0 oder 1 durch Auswertung einer Zufallszahl in einem festgelegten Bereich (hier: 1 bis 6)
- Auswertung der Zufallszahl über WENN-Befehl

 WENN(ZUFALLSBEREICH(1;$C$1)=6;1;0)

Zufallszahl = 6 ⇒ Atom zerfallen ⇒ Codierung in Spalte mit 1 (Zufallszahl ≠ 6 ⇒Codierung mit 0 ⇒ Atom noch vorhanden)
In der nächsten Spalte werden alle noch vorhandenen Atome durch ihre Startnummer (=Nummer Zeile) repräsentiert
Durch WENN-Abfrage wird den zerfallenen Atomen der Ausdruck "Zerfallen" zugeordnet

 WENN(B3=0;A3;"Zerfallen")

 ⇒ Ablesen der noch vorhandenen Atome (alle 0 - Werte) in unterster Zeile (ZÄHLENWENN-Befehl)

Nächster Zeitschritt

Atome, die schon zerfallen sind bekommen Wert 1 zugeordenet
Noch vorhandene Atome: Wiederholung 1. Zeitschritt
- Zuordnung einer neuen Zufallszahl
- Auswertung der Zufallszahlen über WENN-Abfrage

 WENN(ODER(ZUFALLSBEREICH(1;$C$1)=6;C3="Zerfallen");1;0)

Durch WENN-Abfrage wird den zerfallenen Atomen der Ausdruck "Zerfallen" zugeordnet

 WENN(D3=0;C3;"Zerfallen")

⇒ Ablesen der noch vorhandenen Atome in unterster Zeile (ZÄHLENWENN-Befehl)

Analoges Vorgehen für weitere Zeitschritte bis alle Atome zerfallen, also in allen Zeilen der Ausdruck Zerfallen steht.

Resultate der Modellierung

Wertetabelle des modellierten Zerfallsprozesses

Resultate in Realsituation

Zerfall = Zufallsprozess, aber Zerfallswahrscheinlichkeit ≠ Wahrscheinlichkeit Würfelwurf
Genaue Vorhersage, wann ein bestimmter Kern zerfällt nicht möglich, lediglich Abschätzung
Eine Probe eines radioaktiven Isotops besteht aus einer großen Menge radioaktiver Kerne ⇒ Diese Kerne zerfallen nicht alle gleichzeitig, sondern innerhalb eines gewissen Zeitintervalls

Resultate I

Anzahl der in einem sehr kurzen Zeitintervall $\Delta t$ stattfindenden Zerfälle $\Delta N$ ist proportional zu $\Delta t$ und der der Gesamtzahl $N$ der vorhandenen radioaktiven Kerne: $\Delta N=-\lambda \cdot N\cdot \Delta t$

$\lambda$ : Zerfallskonstante, die je nach Nuklid unterschiedliche Werte annimmt

$\Delta N$ : Anzahl der in dem Zeitintervall $\Delta t$ stattfindenden Zerfälle

Resultate II

Zerfallsgesetz: $N=N_{0}\cdot e^{-\lambda t}$
Integrationskonstante $N_{0}$ : Anzahl der zur Zeit $t=0$ vorhandenen Mutterkerne
N: Anzahl der verbliebenen Kerne

Radioaktive Zerfallsgesetz besagt, dass die Anzahl der radioaktiven Kerne in einer gegebenen Probe mit der Zeit exponentiell abfällt ⇒ Beschreibung eines radioaktiven Zerfalls mithilfe der Exponentialfunktion

Resultate III

Mit $N={\frac {N_{0}}{2}}$ bei $t=T_{\text{1/2}}$ ergibt sich dadurch: ${\frac {N_{0}}{2}}=N_{0}\cdot e^{-\lambda \cdot T_{\text{1/2}}}$

Aus $e^{\lambda \cdot T_{\text{1/2}}}=2$ ergibt sich durch logarithmieren für die Halbwertszeit: $T_{\text{1/2}}={\frac {0,693}{\lambda }}$ .

Insgesamt ergibt sich damit für die Funktion zur mathematischen Beschreibung des radioaktiven Zerfalls $N(t)=N_{0}\cdot e^{-0,693t/T_{\text{1/2}}}$

Bezug zur Modellierung im Sinne des Würfelversuch: Halbwertszeit, also die Zeit nach der noch die Hälfte der ursprünglichen Anzahl radioaktiver Teilchen vorhanden ist, kann aus den erhobenen Daten ermittelt werden

Zerfall von Cs-137

Nuklearkatastrophe Tschernobyl: Cs-137 am stärksten radioaktiv strahlendes Nuklid
Halbwertszeit: ca. 30 Jahre
Nach Modellierungszyklus 1:
- Betrachtete Modellierung: 4 Halbwertszeiten (120 Jahre)
- Bei 50 Startatome wären am Ende der Modellierung immer noch Atome übrig

Atommüll

Weist meist lang strahlende Nuklidanteile auf
Z.B.: Iod-129 Halbwertszeit von $1,57\cdot 10^{7}$ Jahre
Muss sichergestellt werden, dass nichts ins Grundwasser oder Atmosphäre gelangt → starke Genmutationen (Krebs als Folge)

Bewertung und Optimierung

Annahme Modellierung: Teilchen sind nach dem Zerfall nicht mehr vorhanden
Realität: Zerfallsketten
Modellierungsprozess nur 50 Nuklide ↔ Realität deutlich höhere Anzahl an Teilchen (1 kg Cs enthält 10^34)
Örtliche Komponente wird im Modellierungszyklus 1 nicht betrachtet ⇒ Optimierung in Modellierungszyklus 2
- Beispiel: Fukushima, nach Fallout gelangen radioaktive Teilchen in die Luft und Wolken und wurden durch Winde über den Pazifik getragen ⇒ trotz großer räumlicher Distanz weit entfernte Gebiete deutlich höhere radioaktive Belastung als z.B. das nahegelegene Korea

Vorteile Tabellenkalkulation

Vertrautheit der SuS
Direktes übertragen eigener Messergebnisse in die Tabelle sowie direkte Auswertung
Ziel der Visualisierung des zufallsgesteuerten Prozess mit Ergebnis einer e-Funktion wird erfüllt

Modellierungszyklus 2 - Sekundarstufe 2

Ziel

Bewusstsein für Radioaktivität schaffen
Erkenntnisse zu räumlicher Ausdehnung und Verbreitung von radioaktivem Material

Inhaltliche Beschreibung

Modellierung: Flugbahn einer radioaktiven Wolke und anschließendem Fallout mit Startpunkt in Philippsburg

Idealisierungen/ Annahmen

Starthöhe Wolke nach Kernreaktorkatastrophe: 12 km
Windgeschwindigkeit konstant: $\omega =15{\frac {km}{h}}$ (Durchschnitt in Philippsburg)
Wolke = Punkt → Regen fällt auf einen Punkt
Bis zum Fallout: Wolke auf konstanter Starthöhe von 12km
Fallgeschwindigkeit des Regens konstant: $f=30{\frac {km}{h}}$

Variablen

Windrichtung α
Zeiteinheit $t_{1}$ , in der die Wolke weggetragen wird
Punkt $P$ , in dem sich die Wolke zum Zeitpunkt $t_{1}$ befindet
Zeit $t_{2}$ des Abregnens

Bezeichnungen

${\vec {S}}$ : Startpunkt
${\vec {P}}$ : Position der Wolke
${\vec {E}}$ : Auftreffpunkt des Regens
${\vec {w}}$ : Windgeschwindigkeit + Windrichtung
${\vec {f}}$ : Fallgeschwindigkeit

Mathematisches Modell

Grundlage: Vektoranalysis bzw. Analytische Geometrie Sek II
Punkte und Linearkombinationen im dreidimensionalen reellen Vektorraum

1. Bahnkurve der Wolke erstellen:

Startpunkt ${\vec {S}}$
Zeit seit Beginn der Bewegung $t_{1}$
Windvektor $w$ (konst. Windgeschwindigkeit + variable Windrichtung)
Aufenthaltspunkt ${\vec {P}}$ der Wolke: ${\vec {P}}={\vec {S}}+t_{1}\cdot {\vec {w}}$

2. Neue Bahnkurve ab Fallout:

Position ${\vec {P}}$
Zeit des Abregnens $t_{2}$
Windvektor $w$
Fallgeschwindigkeit Regen $f$ (konstant)
Auftreffpunkt des Regens: ${\vec {E}}={\vec {P}}+t_{2}\cdot {\vec {w}}+t_{2}\cdot {\vec {f}}$

Software

Geogebra

Vorteil: Parallele und dynamische Darstellung von Objekten in einem 2-dimensionalen + 3-dimensionalen Koordinatensystem
Europakarte einfügen zur besseren Veranschaulichung am Beispiel Philippsburg bzw. Ausbreitung in Europa

Konstruktionsprotokoll

Modellierung im 2-dimensionalen Raum

Modellierung im 3-dimensionalen Raum

Resultate der Modellierung

Ort des Niederschlags nach einer Kernschmelze berechenbar und darstellbar
Betrachtung des Startpunktes Kraftwerk Philippsburg
Mittelpunkt der Wolke und somit des Niederschlags kann bestimmt werden
Aufgrund geographischer Lage wird von einem Westwind ausgegangen, Mittelwert Philippsburg 15 km/h
Im Durchschnitt regnet es jeden dritten Tag in Europa
$\alpha =0{\text{ (entspricht Westwind) }};t_{1}=72{\text{ (enstspricht 72 Stunden)}}$
Ergebnis: Niederschlag an slowakisch-ukrainischer Grenze
Darstellung aller Möglichkeiten nach 72h kann als Spur (Kreis) dargestellt werden

Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags

Tool zur Bestimmung des Herabregnens radioaktiver Nuklide in Abhängigkeit von Zeit und Wind (Richtung+Geschwindigkeit)

Resultate in Realsituation

Beispiel Fukushima: Abhängigkeit zwischen radioaktiver Verschmutzung und Windrichtung

Abhängigkeit von der Windrichtung: radioaktive Verschmutzung am Boden stärker von Windrichtung abhängig als vom radialen Abstand zum Atomreaktor (Kontamination nicht gleichmäßig in alle Richtungen um Reaktor)

Abhängigkeit von Ort des Fallouts (=Staub gelangt in Atmosphäre (radioaktive Aerosole)→ durch Abregnen gelangen radioaktive Teilchen auf Erdoberfläche)

Sonderform Washout: Radioaktive Teilchhen fallen von oben auf Wolkendecke und vereinigen sich mit Regentropfen, durch Regen fallen sie zu Boden und es kommt in großen Entfernungen zu radioaktiver Belastung

Grafik geschätzte radioaktive Dosis im ersten Jahr nach dem Reaktorunglück in Fukushima

Beispiel Tschernobyl:

Durch Kernschmelze+Explosion kam es zu Graphitbrand → gasförmige/leicht flüchtige Stoffe wie Jod und Cäsium gelangten in 3,5 - 10km Höhe
Über radioaktive Wolke und anschließendes Abregnen → Radionuklide von Polen bis Skandinavien
Zweite Wolke verteilt Nuklide von Slowakei, Tscheschien, Österreich bis nach Deutschland → Folgen heute noch spürbar (Verseuchung von Wild in Süddeutschland)
Dritte Wolke: Rumänien, Bulgarien, Griechenland, Türkei

Cäsium-137-Kontamination im Jahr 1996

Bewertung und Optimierung

Annahmen I

1. Modellierung Wolke als Punkt keine zu vernachlässigende Vereinfachung dar → besser: Modellierung als Kugel oder Ellipsoid → größeres kontaminiertes Gebiet darstellbar
- Kugel würde sich mit zunehmender Zeit vergrößern aufgrund von Diffussionsprozessen (Abnahme der Partikeldichte)

2. Starthöhe = fester Punkt: Starthöhe könnte in Realsituation eine andere sein, führt zu anderen Werten + radioaktive Partikel befinden sich auf unterschiedlichen Höhen. Annahme: Gesamtheit vereinigt sich in einem einzigen Punkt nicht vernachlässigbar

Annahmen II

3. Radioaktive Partikel sinken vor Abregnen nicht zu Boden, bewegen sich parallel zum Boden → nicht vernachlässigbarer Teil der Verschmutzung wird nicht berücksichtigt

4. Konstante Windrichtung + Konstante Fallgeschwindigkeit: Wind bleibt in Betrag und Richtung konstant (gleiches gilt für Fallgeschwindigkeit Regen)

5. Zeitliche Dauer der Freisetzung: Partikel befinden sich bereits in der Luft und es werden keine weiteren freigesetzt (vgl. Tschernobyl/Fukushima) = Kernexplosion wird beschrieben

6. Geographische Gegebenheiten werden nicht beachtet: bspw. Steigungsregen an den Alpen wird in Modellierung nicht beachtet

Ziel:

Räumliche Verbreitung und Ausdehnung von radioaktivem Material wird sichtbar ⇒ daher Entscheidung für allgemeine Variante bei der Geographische Gegebenheiten nicht berücksichtigt werden

Vorteile Geogebra:

Gleichzeitige Darstellung in 2D und 3D sowie Schieberegler → SuS können Zusammenhänge selbst entdecken und verstehen lernen

Modellierungszyklus 3 - Universitäts Niveau

Ziel

Zeitliche + Räumliche Modellierung aus den ersten beiden Zyklen miteinander verbinden ⇒ Die Gefahr einer Kernschmelze möglichst genau darstellen und somit über die Gefahren aufklären

Zielgruppe: Alle Bürger:innen

Möglichkeit mit Hilfe von Wetterdaten radioaktive Kontamination bei einem Reaktorunglück zeitlich und räumlich abschätzen zu können

Inhaltliche Beschreibung

Grundlegende Annahmen

Die Modellierung bezieht sich auf den Zustand nach dem Abregnen der Wolke
Bis zum Abregnen der Wolke keine radioaktiven Verluste
Abregnen der Wolke nur in einem Gebiet
Alle radioaktiven Materialien haben sich bereits abgesetzt
⇒ Alle Tansportprozesse sind bereits abgeschlossen!

Umsetzung

Funktion modellieren, die jedem zweidimensionalen Raumpunkt auf dem Boden einen Wert auf der z-Achse zuordnet

z-Achse gibt Gefahrenwert aufgrund radioaktiver Kontamination in Folge eines Reaktorunglücks an
- Gefahrenwert abhängig von der Anzahl der zerfallenden Atomkerne (vgl. Zyklus 1)
- Gefahrenfunktion durch Kontamination mit Cäsium-137

Funktionsmodellierung für das Kraftwerk sowie einen nuklearen Fallout

Erster Modellierungsschritt

Funktion $f$ finden, die das Risiko in der Nähe des Kraftwerks beschreibt
Funktion $g$ finden, die Risiko in der Nähe des Fallouts beschreibt
Abhängigkeit der Funktionen jeweils von zwei Messwerten, welche im konkreten Fall eines Reaktorunglücks erhoben werden oder mit Daten von früheren Unfällen zur Aufklärung genutzt werden
Im Falle dieser Modellierung: Daten Unglück Tschernobyl

→ Funktion $u=f+g$ modelliert dann als eindimensionale Funktion die Gefahr durch radioaktive Kontamination in Abhängigkeit des Abstandes in Richtung des nuklearen Fallout (Windrichtung)

Zweiter Modellierungsschritt

Bestimmung einer exakteren Gefahrenfunktion $u$ :

Bestimmung der Messwerte analog zum ersten Vorgehen
Koeffizienten der Funktion durch Lösen eines nicht-linearen Gleichungssystems

Bestimmung der Funktionen

Gebrochen rationale Funktion der Form: $f(x)={\frac {a}{1+bx^{2}}}$

Begründung: Erfüllung folgender Randbedingungen

$\lim _{x\to \pm \infty }f=0$
Einzige Extremstelle als Maximum
Symmetrisch bzgl. dieses Maximums
Stets positiv
Stetig
Lediglich von zwei Parametern abhängig, sodass sie durch zwei verschiedene Messwerte eindeutig bestimmbar ist

Parameter

Über Parameter a ist Höhe des Maximums (maximale Gefahr) veränderlich
Über Parameter b ist Steigung (Breite des Gefahrenbereichs) veränderlich

Bestimmung der Funktion f

Über Punkte "Sperrzone" und "Kraftwerk" kann die Funktion f parametrisiert werden (konkrete Werte über Infografik des dpa)

Ermittlung der erforderlichen Daten aus Infografik

1. Punkt Kraftwerk:

Größte Belastung am Kraftwerk: mind. $1480{\frac {kBq}{m^{2}}}$ → y-Wert des Kraftwerkes 1480
Abstand zum Kraftwerk Tschernobyl: $0km$ → x-Wert des Kraftwerkes 0
→ Punkt Kraftwerk eindeutig bestimmt: (0 | 1480)

2. Punkt Sperrzone:

Hier wird der Übergang der Karte von dunkelrot zu rot genommen
Belastung liegt bei $185{\frac {kBq}{m^{2}}}$ → y-Wert der Sperrzone 185
Abstand zum Kraftwerk Tschernobyl (nach Maßstab der Infografik): ca. $100km$ → x-Wert 100
→ Punkt Sperrzone eindeutig bestimmt: (100 | 185)

Erhalt der Funktion f

Mit den ermittelten Punkten und der allgemeinen Funktion $f(x)={\frac {a}{1+bx^{2}}}$ $f(x)={\frac {a}{1+bx^{2}}}$ lassen sich zwei Gleichungen mit jeweils zwei Unbekannten bestimmen
- Lösen des Linearen Gleichungssystems
Einsetzen in gebrochen rationale Funktion: $f(x)={\frac {1480}{1+{\frac {7}{10.000}}\cdot x^{2}}}$

Bestimmung Funktion g

1. Punkt Mittelpunkt der Abregnung:

Radialer Abstand vom Kraftwerk zum Mittelpunkt der Abregnung entspricht ca. $1080km$ nach $72h$ (vgl. Zyklus 2)
Größte Belastung am Abregnungspunkt: mind. $40{\frac {kBq}{m^{2}}}$ → y-Wert des Mittelpunkts der Abregnung 40
Abstand zum Kraftwerk Tschernobyl: $1080km$ → x-Wert des Mittelpunkts der Abregnung 1080
→ Punkt Mittelpunkt der Abregnung eindeutig bestimmt: (1080 | 40)

2. Punkt Messwert Regen:

Hier wird der Übergang der Karte von orange zu beige
Belastung liegt bei $10{\frac {kBq}{m^{2}}}$ → y-Wert des Messpunkt des Regens 10
Abstand zum Kraftwerk Tschernobyl $1080km-150km=930km$ → x-Wert 930
→ Punkt Messwert des Regens eindeutig bestimmt ( 930 | 10)

Führt analog wie bei der Ermittlung von f zu: $g(x)={\frac {40}{1+{\frac {1}{7.500}}\cdot (x-1080)^{2}}}$

Bestimmung Funktion u durch Superposition

Gefahrenfunktion im Zweidimensionalen durch Superposition der beiden Funktionen f und g:

 $u(x)=f(x)+g(x)={\frac {1480}{1+{\frac {7}{10.000}}\cdot x^{2}}}+{\frac {40}{1+{\frac {1}{7.500}}\cdot (x-1080)^{2}}}$

Optimierung der Gefahrenfunktion u

Eine Funktion, die f und g superponiert, näher das Risiko an, jedoch ergibt sich ein kleiner Fehler bezüglich der Messwerte
- Die ursprünglichen Messwerte werden dadurch leicht erhöht
- Bei großem Abstand der Maxima ist diese Ungenauigkeit allerdings sehr gering

Exaktere Bestimmung der Gefahrenfunktion u

Die Funktion müsste durch die folgenden Punkte gehen:

 $u(0)=1480;u(100)=185;u(930)=10;u(1080)=40$

Daraus ergibt sich mit den ermittelten Messwerten (bestimmte Punkte, siehe oben) das folgende nicht-lineare Gleichungssytem mit 4 Unbekannten $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}$ :

 $1480={\frac {a_{1}}{1+b_{1}\cdot 0^{2}}}+{\frac {a_{2}}{1+b_{2}\cdot (0-1080)^{2}}}$

 $185={\frac {a_{1}}{1+b_{1}\cdot 100^{2}}}+{\frac {a_{2}}{1+b_{2}\cdot (100-1080)^{2}}}$

 $10={\frac {a_{1}}{1+b_{1}\cdot 930^{2}}}+{\frac {a_{2}}{1+b_{2}\cdot (930-1080)^{2}}}$

 $40={\frac {a_{1}}{1+b_{1}\cdot 1080^{2}}}+{\frac {a_{2}}{1+b_{2}\cdot (1080-1080)^{2}}}$

Lösung des Gleichungssystems mithilfe von Maxima

$a_{1}=1479.818965517241\cong 1480$

$a_{2}=38.19197707736389\cong 40$

$b_{1}=7.008530154001125\cdot 10^{-}4\cong {\frac {7}{10.000}}$

$b_{2}=1.800005040014112\cdot 10^{-}4\cong {\frac {1}{7.500}}$

Schlussfolgerung

Abweichungen im Vergleich zum ursprünglichen Vorgehen vernachlässigbar
Erstes Vorgehen erlaubt jedoch mehr Interaktivität
- Einfaches Anpassen der Messwerte durch Bewegen der Punkte
- Radioaktive Gefahr unter bestimmten Voraussetzungen anschaulicher
Implementation des zweiten Ansatzes in Geogebra nicht möglich, da das nicht-lineare Gleichungssystem nicht exakt genug gelöst wird
Bezug zum Modellierungsziel der Aufklärung und Bewusstseinsschaffung der Bürger:innen: Werte des ersten Ansatzes anschaulicher, besser verständlich

⇒ Fortfahren mit den gerundeten Werten

Dreidimensionale Erweiterung der Gefahrenfunktion

Für eine dreidimensionale Funktion muss Argument um die y-Variable erweitert werden
Daraus folgt für die beiden oben ermittelten Funktionen:

 $f(x,y)={\frac {1480}{1+{\frac {7}{10.000}}\cdot (x^{2}+y^{2})}}$  und  $g(x,y)={\frac {40}{1+{\frac {1}{7.500}}\cdot ((x-1080)^{2}+y^{2})}}$

Annahme: Windrichtung in positive Richtung
Für verschiedene Windrichtungen (siehe Zyklus II) erhält man eine Darstellung in Abhängigkeit des Winkels α:

 $g(x,y,\alpha )={\frac {40}{1+{\frac {1}{7.500}}\cdot ((x-1080cos(\alpha ))^{2}+(y-1080sin(\alpha ))^{2})}}$ .

Windrichtung: α in Bogenmaß von [0,2π]

Es gilt wieder für die Gesamtfunktion: $u=f+g$

 $u(x,y,\alpha )=f(x,y)+g(x,y,\alpha )$

 $u(x,y,\alpha )={\frac {1480}{1+{\frac {7}{10.000}}\cdot (x^{2}+y^{2})}}+{\frac {40}{1+{\frac {1}{7.500}}\cdot ((x-1080cos(\alpha ))^{2}+(y-1080sin(\alpha ))^{2})}}$

Berücksichtigung der zeitlichen Komponente

Berücksichtigung des radioaktiven Zerfalls: Multiplizieren des Zählers, der einer radioaktiven Belastung entspricht mit einer exponentiellen Zerfallsfunktion $e^{-\lambda \cdot t}$
$\lambda$ : Zerfallskonstante des jeweiligen Atoms.
Betrachte (analog zu Zyklus 1) Cs-137 mit einer Halbwertszeit ca. 30 Jahren: $\lambda ={\frac {ln(2)}{T_{H}}}={\frac {ln(2)}{30a}}$

Damit: $u(x,y,t,\alpha )=(f(x,y)+g(x,y,\alpha ))\cdot e^{-{\frac {ln(2)}{30a}}\cdot t}$

 $u(x,y,t,\alpha )={\frac {1480\cdot e^{-{\frac {ln(2)}{30a}}\cdot t}}{1+{\frac {7}{10.000}}\cdot (x^{2}+y^{2})}}+{\frac {40\cdot e^{-{\frac {ln(2)}{30a}}\cdot t}}{1+{\frac {1}{7.500}}\cdot ((x-1080cos(\alpha ))^{2}+(y-1080sin(\alpha ))^{2})}}$

Der Gefahrenwert hängt somit von den vier Eingabewerten $x,y,t,\alpha$ ab.

Computergestützte Umsetzung mit Geogebra und Maxima

Geogebra

Die Funktionen können sowohl im 2- als auch im 3-dimensionalen mit Hilfe von Geogebra visualisiert werden
Mit Hilfe von Schiebereglern: Variation der Windrichtung und der Zeit ⇒ Dynamische Veranschaulichung der Abhängigkeiten und Zusammenhänge

Maxima

Funktionen im 3-dimensionalen mit Gitternetzlinien dargestellt (Vereinfachung der 3-dimensionalen Wahrnehmung)
Ausgabevariable je nach Betrag farbig dargestellt
Festlegung auf eine Zeit und eine Windrichtung ⇒ Bezug auf die Funktionen, die weder die Zeitabhängigkeit noch die Windrichtung berücksichtigen:

f(x,y):=(1480)/(1+(7/10000)*(x^2+y^2));
g(x,y):=(40)/(1+(1/7500)*((x-1080)^2+(y)^2));
u(x,y):= f(x,y)+g(x,y);

Graphische Darstellung

Um die Funktion graphisch darzustellen wird der Code wxplot3d verwendet:

wxplot3d(u(x,y),[x,-100,1300],[y,-1000,1000],[grid,100,100]);
(Alternativ wxplot3d(f(x,y)+g(x,y),[x,-100,1300],[y,-1000,1000],[grid,100,100]); )

Erste Eingabe: Definition der zu plottenden Funktion
Zweite und Dritte Eingabe: Definition der Variablen und der Bereiche, in denen die Funktion ausgewertet werden soll
[grid,100,100] : Feldlinien, entlang derer die Funktion ausgewertet wird, werden enger dargestellt, wodurch der Graph im Gesamten stetiger aussieht

Graph

Exaktere Endfunktion mit Maxima

Koeffizienten der Funktion werden durch ein nicht-lineares Gleichungssystem gelöst
Parameter des Gleichungssystems werden in Maxima ausgelesen
Erstellung der exakten Endfunktion
Plot der exakten Endfunktion

Maxima Code zur Erstellung der exakteren Funktion

 gl1: 1480=a1/(1+b1*(0^2))+a2/(1+b2*(0-1080)^2);
 gl2: 185=a1/(1+b1*(100^2))+a2/(1+b2*(100-1080)^2);
 gl3: 10=a1/(1+b1*(930^2))+a2/(1+b2*(930-1080)^2);
 gl4: 40=a1/(1+b1*(1080^2))+a2/(1+b2*(1080-1080)^2);
 GS: solve([gl1,gl2,gl3,gl4],[a1,a2,b1,b2]);
 a1: rhs(GS[4][1]);
 a2: rhs(GS[4][2]);
 b1: rhs(GS[4][3]);
 b2: rhs(GS[4][4]);
 u(x):=(a1)/(1+(b1)*(x^2+y^2))+(a2)/(1+b2*((x-1080)^2+(y)^2));

Maxima Code für den Plot der exakteren Funktion

Zusätzliche Farbanpassung des Graphen, sodass auch kleinere Veränderungen der Risikowerte farblich stärker hervorgehoben werden:

plot3d(u(x),[x,-400,1300],[y,-500,500],[z,0,700],[grid,80,80], [zlabel, "Risiko"],[palette, [gradient, yellow, green, cyan, cyan, blue, blue, blue, magenta, magenta, magenta, magenta, red, red, red, red, red]]);

Resultate der Modellierung

Endresultat: Darstellung einer Gefahrenfunktion $u$ , die das zeitliche und räumliche Gefahrenpotential eines Nuklearunfalls unter Berücksichtigung eines nuklearen Wash-Outs beschreibt
In Geogebra: Visualisierung des Risikos in Windabhängigkeit und im zeitlichen Verlauf nach der Katastrophe

Resultate Graph

Am oben gezeigten Graphen wird das Risiko deutlich visualisiert
- Globales Maximum am Ort des Kraftwerks
- Hohes Risiko in seiner Umgebung
- Im Vergleich wirkt das lokale Maximum des Risikos sowie in dessen umliegenden Bereich (in dem es zum nuklearen Fallout kommt) vernachlässigbar klein ⇒ Jedoch in der Realität keinesfalls vernachlässigbar

Interpretation

Menge an radioaktiver Belastung und dem damit verknüpften Risiko kann (siehe Zyklus 1 sowie Auswirkungen von Tschernobyl) noch jahrzehntelang zu gesundheitlichen Gefahren führen
Belastung im Umfeld des Kernkraftwerks so groß, dass die Radioaktivität Menschen nicht durch Mutationen langfristig schadet, sondern unmittelbar nach dem Unglück innerhalb weniger Minuten oder Stunden töten kann

Resultate in Realsituation

Kaum Aussagen über allgemeinere Resultate möglich ⇒ Bis heute nur zwei größere Reaktorunfälle
Die Modellierung selbst stützt sich auf Daten von Tschernobyl und modelliert die dortige Situation entsprechend adäquat
Die Anwendbarkeit auf Fukushima problematisch
- Kein nuklearer Fallout aufgrund von radioaktivem Niederschlag über dem Festland
- Nach den ersten Tagen kam es in Japan auch vereinzelt zu radioaktivem Niederschlag, jedoch kann man nicht von einer annähernd konstanten Windrichtung ausgehen, da Zyklone Ursache des Windes
- Windabhängigkeit wissenschaftlich definitiv bestätigt

Bewertung und Optimierung

Bewertung

Dieser Modellierungszyklus verbindet mit einer Funktion die zeitlichen und die räumlichen Risiken nach einer Nuklearkatastrophe
Anhand des Graphen entsteht der Eindruck, dass das Risiko nur in Nähe des Reaktors besonders hoch ist ( Risikowert um ein Vielfaches höher als überall sonst), insbesondere auch am Ort des Niederschlags

Bezug zur Realität

Strahlenbelastung im Gebiet so groß, dass Sperrzonen gebildet werden müssen (Grund: kurzer Aufenthalt in risikoreichen Gebieten kann zum Tod führen)
Enorme Belastung am Kraftwerk hat eine Skalierung zur Folge, die nicht mit den Vorstellungen und Gegebenheiten der vergangenen Katastrophen übereinstimmt
Maximum am Ort des Niederschlags erklärt warum beispielsweise Rotwild in Südbayern bis heute aufgrund der Strahlenbelastung nicht gegessen werden kann
Hohe Komplexität der Zerfallsprozesse und der Verbreitung von Stoffen

Optimierung

Beachtung wechselnder Luftströmungen bzw. Windrichtungen und verschiedener Windstärken (s. Infografik dpa: mehrerer in Europa verteilter Gebiet mit höherer Kontamination)
Diffussionsprozesse in der Luft, wodurch die Ausbreitung der radioaktiven Wolke modelliert werden kann
Herabsinken der Nuklide aufgrund der Gravitation wird nicht berücksichtigt:
- Realsituation: Gebiet in Windrichtung würde ebenfalls stärkere radioaktive Belastung aufzeigen
Zeitlicher Einfluss aller Nuklide, nicht nur Cs-137

Siehe auch

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