Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 3 Teilprojekt 1

Einführung in das Thema

Kurzvorstellung

Untersuchen der Luftqualität in Klassenräumen im Hinblick auf die Sitzordnung

im ersten Lockdown (März 2020) Schließungen von jeglichen Bildungseinrichtungen

Präsenzunterricht soll nicht mehr ausfallen

deshalb mittlerweile (seit Juni 2020) Hygiene-Konzepte, die neben den AHA-Regeln auch regelmäßiges Lüften vorsehen

⇒ relevantes Thema in der aktuellen Situation

Mathematische Aspekte

Fragestellung der Modellierung:

Wie gut werden verschiedenen Raumpunkte und Bereiche in einem Klassenzimmer gelüftet und was bedeutet dies für die Sitzordnung?

Bezug zur Mathematik

Modellierung auf verschiedenen Niveaus:

Sekundarstufe 1: elementare Geometrie
Sekundarstufe 2: analytische Geometrie
Universität: mehrdimensionale Analysis
verwendete Programme: Geogebra, Maxima

Ablauf eines Modellierungszyklus

Modellierungszyklus auf Universitätsniveau

Einführung

Ziel: Anordnung der Sitzplätze im Klassenzimmer in Abhängigkeit der Lüftungsqualität

⇒ neuer Schwerpunkt mit stärkerem Anwendungsbezug

Herleitung der Luftgütefunktion 1

Lüftungsgütefunktion wird entsprechend der Vorgehensweise aus Modellierungszyklus 2 aufgestellt
Betrachtung der Punkte der Form $P=(p_{1},p_{2},1.3)$
Aufstellen von vier Geradengleichungen, die die Trägergeraden der Lüftungsstrecken sind
Bestimmung der Lotfußpunkte des Punktes und der Geraden

Herleitung der Luftgütefunktion 2

Der Abstand zwischen den Lotfußpunkten und dem beliebigen Raumpunkt wird ermittelt
Außerdem wird ein Term berechnet, der den Abstand zwischen den Mittelpunkten der Fenster und $P$ darstellt.
Abstände werden anschließend mithilfe einer Glockenkurve normiert und für jede Lüftungsstrecke addiert

L_{i}={1 \over {1+{s_{i}}^{2}}}

und

L_{ges}=L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}

Veranschaulichung der Vorgehensweise

https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

Fallunterscheidung I

Falls $LF_{2y}>7$ und $LF_{3y}\leq 7$ und $LF_{4y}\leq 7$ :

i(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}

+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({7 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}+{1 \over {1+{({{\sqrt {1300\cdot {p_{2}}^{2}+(6552-4480)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11916\cdot p_{1}+9477}} \over {6\cdot {\sqrt {145}}}})^{2}}}}

+{1 \over {1+{({{\sqrt {2900\cdot {p_{2}}^{2}+(9912-6720)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11964\cdot p_{1}+9693}} \over {2\cdot {\sqrt {1705}}}})^{2}}}}

Fallunterscheidung II

Falls $LF_{2y}>7$ und $LF_{3y}>7$ und $LF_{4y}\leq 7$ :

j(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}

+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({7 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({11 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}

+{1 \over {1+{({{\sqrt {2900\cdot {p_{2}}^{2}+(9912-6720)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11964\cdot p_{1}+9693}} \over {2\cdot {\sqrt {1705}}}})^{2}}}}

Fallunterscheidung III

Falls $LF_{2y}\leq 7$ und $LF_{3y}>7$ und $LF_{4y}\leq 7$ :

k(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}

+{1 \over {1+{({{\sqrt {1700\cdot {p_{2}}^{2}+(15960-11200)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59340\cdot p_{1}+46593}} \over {10\cdot {\sqrt {213}}}})^{2}}}}+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({11 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}

+{1 \over {1+{({{\sqrt {2900\cdot {p_{2}}^{2}+(9912-6720)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11964\cdot p_{1}+9693}} \over {2\cdot {\sqrt {1705}}}})^{2}}}}

Fallunterscheidung III

Falls $LF_{2y}>7$ und $LF_{3y}>7$ und $LF_{4y}>7$ :

l(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}

+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({7 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({11 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}

+{1 \over {1+{({\sqrt {(7-{p_{2}})^{2}+({15 \over 2}-{p_{1}})^{2}+0.039998)^{2}}}}}}

Fallunterscheidung IV

Falls $LF_{2y}\leq 7$ und $LF_{3y}\leq 7$ und $LF_{4y}\leq 7$ :

f(p_{1},p_{2}):={1 \over {1+{({{\sqrt {100\cdot {p_{2}}^{2}-840\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59100\cdot p_{1}+46089}} \over {10\cdot {\sqrt {197}}}})^{2}}}}

+{1 \over {1+{({{\sqrt {1700\cdot {p_{2}}^{2}+(15960-11200)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+19700\cdot {p_{1}}^{2}-59340\cdot p_{1}+46593}} \over {10\cdot {\sqrt {213}}}})^{2}}}}+{1 \over {1+{({{\sqrt {1300\cdot {p_{2}}^{2}+(6552-4480)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11916\cdot p_{1}+9477}} \over {6\cdot {\sqrt {145}}}})^{2}}}}

+{1 \over {1+{({{\sqrt {2900\cdot {p_{2}}^{2}+(9912-6720)\cdot p_{1}\cdot p_{2}+3940\cdot {p_{1}}^{2}-11964\cdot p_{1}+9693}} \over {2\cdot {\sqrt {1705}}}})^{2}}}}

Gesamtfunktion Lüftungsgüte

Gesamtlüftungsgütefunktion $n$ :

$n:[0,9]\times [0,7]\to \mathbb {R} ,$

n(p_{1},p_{2})={\begin{cases}i(p_{1},p_{2})&LF_{2y}>7{\text{ und }}LF_{3y},LF_{4y}\leq 7\\j(p_{1},p_{2})&LF_{2y},LF_{3y}>7{\text{ und }}LF_{4y}\leq 7\\k(p_{1},p_{2})&LF_{2y}\leq 7{\text{ und }}LF_{3y}>7{\text{ und }}LF_{4y}\leq 7\\l(p_{1},p_{2})&LF_{2y},LF_{3y},LF_{4y}>7\\f(p_{1},p_{2})&{\text{ sonst }}&\end{cases}}

Umsetzung in Maxima

Funktion n in Maxima

(%i33)n(p_1,p_2):=if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]≤7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(i(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(j(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]≤7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(k(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]>7)then(l(p_1,p_2))
      else(f(p_1,p_2));;

(%o33)n(p₁,p₂):=if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂≤7 and [LF₄]₂≤7) then i(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂≤7) then j(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂≤7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂≤7) then k(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂>7) then l(p₁,p₂)
      else f(p₁,p₂)

Plot der Funktion

Plot der Lüftungsgütefunktion n auf der Höhe 1,3

Problem

Funktion kann durch Fallunterscheidung in Maxima nicht problemlos integriert oder abgeleitet werden
Lösung: Funktion $f$ als Näherung der Lüftungsgütefunktion
$f$ entspricht Lüftungsgütefunktion, wenn nur das Lotfußpunktverfahren genutzt wird

⇒ $f$ ist durch fehlende Fallunterscheidung einfacher zu handhaben

Unterschied zwischen $f$ und $n$ ist sehr gering:

f(8.8,6.3)\approx 0.4603

und

n(8.8,6.3)\approx 0.4432

⇒ Für die Praxis vernachlässigbar

Vergleich von f und n

Vergleich der Funktionen f und n (n ist die untere Funktion, f ist die obere Funktion)

Bestimmung des Mittelwertes

Ziel

sinnvolle Unterschranke
theoretisch frei wählbar
Idee: Mittelwert als untere Schranke
Weg: Integral geteilt durch Grundfläche des Raumes

Berechnung des Integrals

Satz von Fubini, dann Riemann-Integral
zuerst nach $p_{1}$ über $[0,9]$ integrieren, dann nach $p_{2}$ über $[0,7]$
$I=\int _{0}^{7}\int _{0}^{9}f(p_{1},p_{2})\ dp_{2}dp_{1}=78,18$
dann $I_{2}={I \over {7\cdot 9}}={78,18 \over {63}}=1,24$

Berechnung des Integrals der Luftgüte-Funktion mit Maxima

{\begin{aligned}&{\mathtt {\color {Apricot}\%i32}}&&{\mathtt {{\color {green}y{\underline {\ }}1}:\ {\color {brown}integrate}{\color {blue}(}{\color {brown}f}{\color {blue}(}{\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2}{\color {blue})},{\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {brown}0},{\color {brown}9}{\color {blue})};}}\\&{}&&{\color {red}{\text{Is}}\ 25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366\ {\text{positive or negative?}}}\ \color {green}{\text{positive}};\\&{\mathtt {\color {orange}(y{\underline {\ }}1)}}&&{\Bigg (}5{\sqrt {341}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(1680{\sqrt {341}}p_{2}+2991{\sqrt {341}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{17050p_{2}^{2}-143220p_{2}+3659612}}\right)\\&{}&&+5{\sqrt {213}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(560{\sqrt {213}}p_{2}+2967{\sqrt {213}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{10650p_{2}^{2}-89460p_{2}+2285916}}\right)\\&{}&&+15{\sqrt {29}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(1120{\sqrt {29}}p_{2}+2979{\sqrt {29}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{4350p_{2}^{2}-36540p_{2}+933684}}\right)\\&{}&&+5{\sqrt {179}}\operatorname {atan} \left({\frac {15{\sqrt {179}}p_{2}{\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{50p_{2}^{2}-420p_{2}+10732}}\right)\\&{}&&{\Bigg )}/{\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}\\&{}&&-{\Bigg (}5{\sqrt {341}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(1680{\sqrt {341}}p_{2}-14739{\sqrt {341}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{17050p_{2}^{2}-143220p_{2}+3659612}}\right)\\&{}&&+5{\sqrt {213}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(560{\sqrt {213}}p_{2}-14763{\sqrt {213}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{10650p_{2}^{2}-89460p_{2}+2285916}}\right)\\&{}&&+15{\sqrt {29}}\operatorname {atan} \left({\frac {\left(1120{\sqrt {29}}p_{2}-14751{\sqrt {29}}\right){\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{4350p_{2}^{2}-36540p_{2}+933684}}\right)\\&{}&&-5{\sqrt {179}}\operatorname {atan} \left({\frac {15{\sqrt {179}}p_{2}{\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}}{50p_{2}^{2}-420p_{2}+10732}}\right)\\&{}&&{\Bigg )}/{\sqrt {25p_{2}^{2}-210p_{2}+5366}}\\&{\mathtt {\color {Apricot}\%i33}}&&{\mathtt {{\color {green}I}:\ {\color {brown}romberg}{\color {blue}((}{\color {green}y{\underline {\ }}1}{\color {blue})},{\color {green}p{\underline {\ }}2},{\color {brown}0},{\color {brown}7}{\color {blue})};}}\\&{\mathtt {\color {orange}(I)}}&&78.18442018225412\end{aligned}}

Plot mit Mittelwert

Wie positioniere ich die Schüler? - Gradientenaufstiegsverfahren

mathematische Methode in mehrdimensionalen Räumen
Schritte:

1. Bestimmung des Gradienten von einem Punkt

S

2. Normierung des Gradienten

3. Addition des normierten Gradienten zu

S

ergibt

S'

4. Funktionswert von

S'

sollte größer sein, als Funktionswert von

S

, falls nicht: Schrittweite verringern

Gradientenaufstiegsverfahren am Beispiel (I)

In unserem Beispiel: Funktion $f$ des Typs $f(p_{1},p_{2})\colon \ [0,9]$ x $[0,7]\to \mathbb {R}$
Bestimmung des Gradienten von einem Punkt $S=(x,y)$ : $grad(x,y)=g(x,y)=({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{1}}},{\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{2}}})$
Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs am Punkt $S=(x,y)$
Normierung des Gradienten: $|({\tilde {g}}(x,y))=1|$
Addition des normierten Gradienten zu $S=(x,y)$ ergibt neuen Punkt $S'$ :

S'=(x',y')={\tilde {g}}(x,y)+(x,y)=(({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{1}}})^{2}+({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{2}}})^{2})^{-1/2}\cdot g(x,y)+(x,y)

Gradienten Bestimmung durch Maxima Teil 1

{\begin{aligned}&{\mathtt {{\color {green}g{\underline {\ }}1}:{\color {brown}diff}({\color {brown}f}({\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2}),{\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {brown}1});}}\\\\&-{\frac {-6720p_{2}+7880p_{1}-11964}{6820\left({\frac {2900p_{2}^{2}+(9912-6720p_{1})p_{2}+3940p_{1}^{2}-11964p_{1}+9693}{6820}}+1\right)^{2}}}\\&-{\frac {-11200p_{2}+39400p_{1}-59340}{21300\left({\frac {1700p_{2}^{2}+(15960-11200p_{1})p_{2}+19700p_{1}^{2}-59340p_{1}+46593}{21300}}+1\right)^{2}}}\\&-{\frac {-4480p_{2}+7880p_{1}-11916}{5220\left({\frac {1300p_{2}^{2}+(6552-4480p_{1})p_{2}+3940p_{1}^{2}-11916p_{1}+9477}{5220}}+1\right)^{2}}}\\&-{\frac {39400p_{1}-59100}{19700\left({\frac {100p_{2}^{2}+840p_{2}+19700p_{1}^{2}-59100p_{1}+46089}{19700}}+1\right)^{2}}}\end{aligned}}

Gradienten Bestimmung durch Maxima Teil 2

{\begin{aligned}&{\mathtt {{\color {brown}g}({\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2}):=[{\color {brown}g{\underline {\ }}1}({\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2}),{\color {brown}g{\underline {\ }}2}({\color {green}p{\underline {\ }}1},{\color {green}p{\underline {\ }}2})];}}\\&g(p_{1},p_{2}):=[g_{1}(p_{1},p_{2}),g_{2}(p_{1},p_{2})]\end{aligned}}

Gradientenaufstiegsverfahren durch Maxima

x: 9;
9

y: 5;
5

S: [x,y];
[9,5]

if(f(S[1],S[2])<I_2)
then(S: float((g(S[1],S[2] ·1/(sqrt(g(S[1],S[2]).g(S[1],S[2]))))+[S[1],S[2]]))
else(print("Punkt erreicht"), print(S));
Punkt erreicht
[6.58013094730602,6.772900652427504]
[6.58013094730602,6.772900652427504]

Gradientenaufstiegsverfahren am Beispiel (II)

Funktionswert von $S'=(x',y')$ sollte größer sein, als der Funktionswert von $S=(x,y)$
Falls nicht: Schrittlänge verringern (um z. B. $0,1$ ):

$S'=(x',y')=0,1\cdot (({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{1}}})^{2}+({\frac {\partial f(x,y)}{\partial p_{2}}})^{2})^{-1/2}\cdot g(x,y)+(x,y)$

Der/die Schüler/in am Punkt $S=(x,y)$ , soll verschoben werden, sodass der Funktionswert $f(x',y')$ größer als mittlere Lüftungsgüte $I_{2}=1,241$ ist
Hierzu: Gradientenaufstiegsverfahren hintereinander ausführen, bis neue Position $(x',y')$ des/der Schülers/in über durchschnittlichen Lüftungsgüte liegt

Einfluss besetzter Plätze

Problem

Zweiter Schüler darf nicht in die Nähe vom ersten Schüler
Idee: Luftgüte besetzter Plätze runtersetzen
Wie? Subtraktion eines Terms, der "Delle" in der Funktion schafft

Betrachtung im Zwei-Dimensionalen

[1]

Betrachtung im Drei-Dimensionalen

Addition mit: ${{(I_{2}-f(S[1],S[2])-0.5)} \over {(1+{{(p_{1}-S[1])^{2}+(p_{2}-S[2])^{2}} \over {0.5^{2}}}})}$
$S[1]$ beschreibt erste Komponente von $S$
durch Zähler liegt man am Punkt $S$ 0,5 unter $I_{2}$
Nenner $0.5^{2}$ hat Einfluss auf die Breite der Kuhle (Sicherheitsabstand)

Neue Funktion

$f_{2}(p_{1},p_{2})=f(p_{1},p_{2})+{{(I_{2}-f(S[1],S[2])-0.5)} \over {(1+{{(p_{1}-S[1])^{2}+(p_{2}-S[2])^{2}} \over {0.5^{2}}}})}$
Im Folgenden für $S=(2|1)$ geplottet