Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 3 Teilprojekt 1

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Einführung in das Thema[Bearbeiten]

Kurzvorstellung[Bearbeiten]

Untersuchen der Luftqualität in Klassenräumen im Hinblick auf die Sitzordnung

  • im ersten Lockdown (März 2020) Schließungen von jeglichen Bildungseinrichtungen
  • Präsenzunterricht soll nicht mehr ausfallen
  • deshalb mittlerweile (seit Juni 2020) Hygiene-Konzepte, die neben den AHA-Regeln auch regelmäßiges Lüften vorsehen
⇒ relevantes Thema in der aktuellen Situation

Mathematische Aspekte[Bearbeiten]

Fragestellung der Modellierung:

Wie gut werden verschiedenen Raumpunkte und Bereiche in einem Klassenzimmer gelüftet und was bedeutet dies für die Sitzordnung?

Bezug zur Mathematik

Modellierung auf verschiedenen Niveaus:
  • Sekundarstufe 1: elementare Geometrie
  • Sekundarstufe 2: analytische Geometrie
  • Universität: mehrdimensionale Analysis
  • verwendete Programme: Geogebra, Maxima

Ablauf eines Modellierungszyklus[Bearbeiten]

Modellbildungszyklus

Modellierungszyklus auf Universitätsniveau[Bearbeiten]

Einführung[Bearbeiten]

  • Ziel: Anordnung der Sitzplätze im Klassenzimmer in Abhängigkeit der Lüftungsqualität
⇒ neuer Schwerpunkt mit stärkerem Anwendungsbezug

Herleitung der Luftgütefunktion 1[Bearbeiten]

  • Lüftungsgütefunktion wird entsprechend der Vorgehensweise aus Modellierungszyklus 2 aufgestellt
  • Betrachtung der Punkte der Form
  • Aufstellen von vier Geradengleichungen, die die Trägergeraden der Lüftungsstrecken sind
  • Bestimmung der Lotfußpunkte des Punktes und der Geraden

Herleitung der Luftgütefunktion 2[Bearbeiten]

  • Der Abstand zwischen den Lotfußpunkten und dem beliebigen Raumpunkt wird ermittelt
  • Außerdem wird ein Term berechnet, der den Abstand zwischen den Mittelpunkten der Fenster und darstellt.
  • Abstände werden anschließend mithilfe einer Glockenkurve normiert und für jede Lüftungsstrecke addiert
und

Veranschaulichung der Vorgehensweise[Bearbeiten]

Überarbeitetes 3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer - https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

Fallunterscheidung I[Bearbeiten]

  • Falls und und :

Fallunterscheidung II[Bearbeiten]

  • Falls und und :

Fallunterscheidung III[Bearbeiten]

  • Falls und und :

Fallunterscheidung III[Bearbeiten]

  • Falls und und :

Fallunterscheidung IV[Bearbeiten]

  • Falls und und :

Gesamtfunktion Lüftungsgüte[Bearbeiten]

  • Gesamtlüftungsgütefunktion :

Umsetzung in Maxima[Bearbeiten]

Funktion n in Maxima

(%i33)n(p_1,p_2):=if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]7 and LF_4(p_1,p_2)[2]7)then(i(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]7)then(j(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]7)then(k(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]>7)then(l(p_1,p_2))
      else(f(p_1,p_2));;

(%o33)n(p₁,p₂):=if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂7 and [LF₄]₂7) then i(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂7) then j(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂7) then k(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂>7) then l(p₁,p₂)
      else f(p₁,p₂)

Plot der Funktion[Bearbeiten]

Plot der Lüftungsgütefunktion n auf der Höhe 1,3

Problem[Bearbeiten]

  • Funktion kann durch Fallunterscheidung in Maxima nicht problemlos integriert oder abgeleitet werden
  • Lösung: Funktion als Näherung der Lüftungsgütefunktion
  • entspricht Lüftungsgütefunktion, wenn nur das Lotfußpunktverfahren genutzt wird

ist durch fehlende Fallunterscheidung einfacher zu handhaben

  • Unterschied zwischen und ist sehr gering:
und

⇒ Für die Praxis vernachlässigbar

Vergleich von f und n[Bearbeiten]

Vergleich der Funktionen f und n (n ist die untere Funktion, f ist die obere Funktion)

Bestimmung des Mittelwertes[Bearbeiten]

Ziel[Bearbeiten]

  • sinnvolle Unterschranke
  • theoretisch frei wählbar
  • Idee: Mittelwert als untere Schranke
  • Weg: Integral geteilt durch Grundfläche des Raumes

Berechnung des Integrals[Bearbeiten]

  • Satz von Fubini, dann Riemann-Integral
  • zuerst nach über integrieren, dann nach über
  • dann

Berechnung des Integrals der Luftgüte-Funktion mit Maxima[Bearbeiten]

Plot mit Mittelwert[Bearbeiten]

Plot der Luftgüte-Funktion bei fester Raumhöhe 1,3 und mit Mittelwert als Referenzwert

Wie positioniere ich die Schüler? - Gradientenaufstiegsverfahren[Bearbeiten]

  • mathematische Methode in mehrdimensionalen Räumen
  • Schritte:
1. Bestimmung des Gradienten von einem Punkt
2. Normierung des Gradienten
3. Addition des normierten Gradienten zu ergibt
4. Funktionswert von sollte größer sein, als Funktionswert von , falls nicht: Schrittweite verringern

Gradientenaufstiegsverfahren am Beispiel (I)[Bearbeiten]

  • In unserem Beispiel: Funktion des Typs x
  • Bestimmung des Gradienten von einem Punkt :
  • Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs am Punkt
  • Normierung des Gradienten:
  • Addition des normierten Gradienten zu ergibt neuen Punkt :


Gradienten Bestimmung durch Maxima Teil 1[Bearbeiten]

Gradienten Bestimmung durch Maxima Teil 2[Bearbeiten]

Gradientenaufstiegsverfahren durch Maxima[Bearbeiten]

x: 9;
9

y: 5;
5

S: [x,y];
[9,5]

if(f(S[1],S[2])<I_2)
then(S: float((g(S[1],S[2] ·1/(sqrt(g(S[1],S[2]).g(S[1],S[2]))))+[S[1],S[2]]))
else(print("Punkt erreicht"), print(S));
Punkt erreicht
[6.58013094730602,6.772900652427504]
[6.58013094730602,6.772900652427504]

Gradientenaufstiegsverfahren am Beispiel (II)[Bearbeiten]

  • Funktionswert von sollte größer sein, als der Funktionswert von
  • Falls nicht: Schrittlänge verringern (um z. B. ):

  • Der/die Schüler/in am Punkt , soll verschoben werden, sodass der Funktionswert größer als mittlere Lüftungsgüte ist
  • Hierzu: Gradientenaufstiegsverfahren hintereinander ausführen, bis neue Position des/der Schülers/in über durchschnittlichen Lüftungsgüte liegt

Einfluss besetzter Plätze[Bearbeiten]

Problem[Bearbeiten]

  • Zweiter Schüler darf nicht in die Nähe vom ersten Schüler
  • Idee: Luftgüte besetzter Plätze runtersetzen
  • Wie? Subtraktion eines Terms, der "Delle" in der Funktion schafft

Betrachtung im Zwei-Dimensionalen[Bearbeiten]

Einfluss verschiedener Parameter auf die Glockenkurve - https://www.geogebra.org/classic/rkx4q6e6

[1]

Betrachtung im Drei-Dimensionalen[Bearbeiten]

  • Addition mit:
  • beschreibt erste Komponente von
  • durch Zähler liegt man am Punkt 0,5 unter
  • Nenner hat Einfluss auf die Breite der Kuhle (Sicherheitsabstand)

Neue Funktion[Bearbeiten]

  • Im Folgenden für geplottet

Plot der neuen Funktion[Bearbeiten]

Plot der Luftgüte-Funktion bei fester Raumhöhe von 1,3m und Schüler auf (2/1)

Bewertung[Bearbeiten]

  • Stärkere Aussagekraft und größere praktische Anwendungsmöglichkeit
⇒ Verbesserung gegenüber den ersten beiden Zyklen
  • Sitzordnung für jeden Klassenraum bestimmbar
  • Abstandsregelung wird berücksichtigt
  • auf verschiedene Gegebenheiten anpassbar

Optimierung[Bearbeiten]

  • Modell basiert auf Zyklus zwei
⇒ Optimierungsmöglichkeiten dieses Zyklus bleiben bestehen
⇒ Anpassung der Schrittweite
  • Modellierung basiert rein auf Modellannahmen
⇒ Datenerhebung zur Kontrolle

Seiteninformation[Bearbeiten]

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Mathematische Modellbildung' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.