Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Erneuerbare Energien/Modellierungszyklus 2

Zielsetzung

• Im 1. Modellierungszyklus: lineare Interpolation zwischen den Datenpunkten
• Interpolation der Übergänge zwischen den Messpunkten unter Benutzung von Konvexkombinationen
• "weichere" bzw. "glatte" Übergänge zwischen den gesammelten Datenpunkten, dadurch realitätsnähere Kurve
• Darstellung des Stromverbrauchs/Stromproduktion als differnzierbare Funktion

Vorgehensweise

Bestimmung der Hilfspunkte

Allgemein

• Ermittlung des Hilfspunkts $S_{1}$ durch Schnittpunkt der Tangenten $t_{A}$ und $t_{B}$ der Punkte $A$ und $B$
  

Konstruktion der Tangentengleichung:

• Konstruktion der Winkelhalbierenden $w_{A}$ bzgl. des Winkels $\alpha$ mit Scheitelpunkt $A$
• Konstruktion der Senkrechten $s_{A}$ zur Winkelhalbierenden $w_{A}$
• Die Senkrechte $s_{A}$ entspricht der gesuchten Tangente $t_{A}$
• Bestimmung der Funktionsgleichung über GeoGebra
• für $t_{B}$ bzw. $s_{B}$ gleiche Vorgehensweise

Schnittpunkt

• Bestimmung des Schnittpunkts $S_{1}$ zwischen $s_{A}$ und $s_{B}$
• Schnittpunktbestimmung erfolgt direkt in GeoGebra

Konstruktion in GeoGeobra

• Konvexkombination 2. Ordnung zwischen zwei Punkte $A$ und $B$ und Hilfspunkt $S$

Konstruktionsschritte

• Punkt $P_{0}$ mit $P_{0}=(1-t)A+tB$
• Punkt $P_{A}$ mit $P_{A}=(1-t)A+tS$
• Punkt $P_{B}$ mit $P_{B}=(1-t)S+tB$
• Punkt $P$ mit $P=(1-t)P_{A}+tP_{B}$
• Ortslinie von Punkt $P$
• Varriation von $t\in [0,1]$ mit Hilfe eines Schiebereglers

Bestimmung der Hilfspunkte

• Bestimmung von $H_{1}$ und $H_{2}$ durch Tangentengleichungen aus Konvexkombination 2. Ordnung
• Bestimmung $x$ Wertes von $H_{1}$ und $H_{2}$:

$x_{H_{1}}={\frac {2}{3}}\cdot x_{A}+{\frac {1}{3}}\cdot x_{B}$

$x_{H_{2}}={\frac {1}{3}}\cdot x_{A}+{\frac {2}{3}}\cdot x_{B}$

• $y$ Werte durch Einsetzen der errechneten $x$ Werte in die Tangentengleichungen der jeweiligen Punkte $A$ und $B$
• Konvexkombination 3. Ordnung, falls die beiden Tangenten der beiden Punkte $A$ und $B$ parallel

Konstruktion in GeoGeobra

• Konvexkombination 3. Ordnung zwischen den Punkten $A$ und $B$ mit den Hilfspunkten $H_{1}$ und $H_{2}$

Konstruktionsschritte

• Punkt $K_{1}$ mit $K_{1}=(1-t)A+tH_{1}$
• Punkt $K_{2}$ mit $K_{2}=(1-t)H_{1}+tH_{2}$
• Punkt $K_{3}$ mit $K_{3}=(1-t)H_{2}+tB$
• Punkt $K_{4}$ mit $K_{4}=(1-t)K_{1}+tK_{2}$
• Punkt $K_{5}$ mit $K_{5}=(1-t)K_{2}+tK_{3}$
• Punkt $P$ mit $P=(1-t)K_{4}+tK_{5}$
• Ortslinie von Punkt $P$

Bewertung und Optimierung

Bewertung

• stationäres System abhängig von einem bestimmten Tag und einer bestimmten Uhrzeit
• "weichere" und "glättere" Übergänge zwischen den Messwerten durch die Konvexkombination verschiedener Ordnungen
• Man erhält "eine" differenzierbare Funktion durch Konvexkombinationen

Optimierung

• Stromverbrauch/Stromerzeugung dynamische Prozesse, abhängig von verschiedener Faktoren (Digitalisierung, E-Autos, Klima,...)
• Integration neuer Daten zu den bereits vorhandenen Messzeiten in ein dynamisches Modell
• Integration von Zwischenwerten in das dynamische Modell

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