Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {Garben}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Zeige, dass durch
\mathl{U \mapsto { \mathcal F } { \left( U \right) } \times { \mathcal G } { \left( U \right) }}{} mit den natürlichen
\definitionsverweis {Produktabbildungen}{}{}
eine Garbe auf $X$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf einem nicht
\definitionsverweis {zusammenhängenden Raum}{}{}
$X$ mit einer Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ U \uplus V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\definitionsverweis {disjunkte}{}{}
nichtleere offene Mengen. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal G } { \left( X \right) }
}
{ = }{ { \mathcal G } { \left( U \right) } \times { \mathcal G } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
mit einer Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ Y \uplus Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf $Y$ und ${ \mathcal H }$ eine Garbe auf $Z$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ =} { { \mathcal G } { \left( U \cap Y \right) } \times { \mathcal H } { \left( U \cap Z \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Garbe auf $X$ definiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
mit zumindest zwei Punkten und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \neq }{\emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
eine Menge. Zeige, dass die
\definitionsverweis {konstante Prägarbe}{}{}
zu $M$ keine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Einschränkung einer
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Garbe ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Wir betrachten die Zuordnung
\mathdisp {U \longmapsto { \mathcal G } { \left( U \right) } \defeq \begin{cases} G \, , \text{ falls } P \in U \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases}} { }
mit den naheliegenden Restriktionsabbildungen zu offenen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass ${ \mathcal G } { \left( U \right) }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
ist.
}{Bestimme den
\definitionsverweis {Halm}{}{}
von ${ \mathcal G }$ im Punkt $P$.
}{Es sei nun $P$ ein abgeschlossener Punkt. Besitmme die Halm für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \neq }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Die in der vorstehenden Aufgabe konstruierte Garbe nennt man \stichwort {Wolkenkratzergarbe} {} \zusatzklammer {zu $G$ im Punkt $P$} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Garbenmorphismus}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und es sei
\maabb {\varphi_U} { { \mathcal F } { \left( U \right) } } { { \mathcal G } { \left( U \right) }
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
für jede offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch jede
\definitionsverweis {Halmabbildung}{}{}
\maabb {\varphi_P} { { \mathcal F }_P } { { \mathcal G }_P
} {}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal G } { \left( \emptyset \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also die triviale Gruppe ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
auf $X$. Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {U \mapsto \prod_{P \in U} { \mathcal F }_P} { }
\zusatzklammer {die Produktmenge aus allen
\definitionsverweis {Halmen}{}{}
zu $U$} {} {}
mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichen
\definitionsverweis {Prägarbenhomomorphismus}{}{}
von ${ \mathcal F }$ in diese Prägarbe gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf $X$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_P
}
{ \in }{ { \mathcal F }_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal F } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Wir definieren zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal I } (U)
}
{ \defeq} { { \left\{ f \in \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) \mid f (P) = 0, \text{ falls } P \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass ${ \mathcal I }$ eine
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
der Strukturgarbe der
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
auf $X$ ist.
}{Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \Gamma (U, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { \mathcal I } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ \in }{ { \mathcal I } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Halme}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal I }_Q
}
{ =} { {\mathcal O}_{ X,Q }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \neq }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal I }_P
}
{ \subseteq} { {\mathcal O}_{ X,P }
}
{ =} { {\mathbb C} \{\{ Z \}\}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich dem von der Variablen $Z$ erzeugten \definitionsverweis {Ideal}{}{} im Ring der konvergenten Potenzreihen ist \zusatzklammer {vergleiche Lemma 10.12} {} {.}
}{Es sei $X$ nun
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
und
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
Bestimme
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
Zeige, dass durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } (U)
}
{ \defeq }{ \operatorname{kern} \varphi_U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Garbe von Gruppen auf $X$ definiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, wenn
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} die Nullgarbe ist.
}
{} {}
Die Vergarbung einer konstanten Prägarbe nennt man \stichwort {lokal konstante Garbe} {} und manchmal auch einfach \stichwort {konstante Garbe} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {konstante Prägarbe}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ zur Menge $M$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
der
\definitionsverweis {Vergarbung}{}{}
von ${ \mathcal F }$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
und $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Es sei ${ \mathcal G }$ die
\definitionsverweis {konstante Prägarbe}{}{}
auf $X$ zu $G$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Vergarbung}{}{}
von ${ \mathcal G }$ gleich
\mathl{C^0(-,G)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass auf $\R$ die folgenden \definitionsverweis {Prägarben}{}{} verschieden sind. \aufzaehlungdrei{Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in $\R$. }{Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in $\R$. }{Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in $\R$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
${ \mathcal G }$ von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
und eine
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von Gruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, und es sei
\mathl{{ \mathcal G } / { \mathcal F }}{} die
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \mathcal G } / { \mathcal F } \right) }_P
}
{ =} {{ \mathcal G }_P / { \mathcal F }_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von Gruppen mit der
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{{ \mathcal G }/ { \mathcal F }}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird repräsentiert durch eine Familie
\mathbed {(U_i, g_i)} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Überdeckung ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Schnitte sind mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_i {{|}}_{U_i \cap U_j} - g_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal F } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und jede solche Familie liegt ein Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{} fest.
}{Zwei solche Familien
\mathkor {} {(U_i, g_i)} {} {(U_i, h_i)} {}
\zusatzklammer {also zur gleichen Überdeckung} {} {}
definieren genau dann das gleiche Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_i -h_i
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal F } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}{Zwei Familien
\mathkor {} {(U_i, g_i)} {und} {(V_j, h_j)} {}
definieren genau dann das gleiche Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{,} wenn auf einer
\zusatzklammer {jeder} {} {}
gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu ${ \mathcal F }$ gehören.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
${ \mathcal G }$ von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
und eine
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von Gruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es einen kanonischen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen}{}{}
\maabbdisp {} { { \mathcal G } } { { \mathcal G } / { \mathcal F }
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{.}
Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(-,\R) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \operatorname{Abb} \, { \left( - , \R \right) } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \operatorname{Abb} \, { \left( - , \R \right) }/ C^0(-,\R) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
auf $I$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{U \cup V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Überdeckung mit
\zusatzklammer {in $I$} {} {}
offenen Intervallen und es sei ein globaler Schnitt in der
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( - , \R \right) }/ C^0(-,\R)}{} gegeben, der durch Schnitte
\mathkor {} {s \in \operatorname{Abb} \, { \left( U , \R \right) }} {und} {t \in \operatorname{Abb} \, { \left( V , \R \right) }} {}
repräsentiert werde. Zeige, dass dieser Schnitt durch eine Abbildung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\operatorname{Abb} \, { \left( I , \R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei ${ \mathcal I }$ die in
Aufgabe 11.11
konstruierte
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
der Strukturgarbe ${\mathcal O}_{ X }$. Bestimme die
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
${\mathcal O}_{ X }/ { \mathcal I }$.
}
{} {Tipp: Siehe
Aufgabe 11.6.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert, wir betrachten das komplexe Potenzieren
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {z} {z^n
} {,}
das ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
bezüglich der multiplikativen Gruppe ist und dessen Kern die Gruppe $E_n$ der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
ist. Nach
Beispiel 6.2
ist die Abbildung ferner eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist. Definiere auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ analog zu
Beispiel 11.14
eine
\definitionsverweis {Garbenversion}{}{}
zu diesen Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
}
{} {}