Riemannsche Fläche/Punkt/Verschwindungsideal/Garbe/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}P\in X$ ein Punkt. Wir definieren zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$

${}{\mathcal {I}}(U):={\left\{f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\mid f(P)=0,{\text{ falls }}P\in U\right\}}\,.$

1. Zeige, dass ${}{\mathcal {I}}$ eine Untergarbe von kommutativen Gruppen der Strukturgarbe der holomorphen Funktionen auf ${}X$ ist.
2. Zeige, dass zu ${}g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ und ${}f\in {\mathcal {I}}{\left(U\right)}$ auch ${}fg\in {\mathcal {I}}{\left(U\right)}$ ist.
3. Zeige, dass für die Halme

   ${}{\mathcal {I}}_{Q}={\mathcal {O}}_{X,Q}\,$

   für alle Punkte ${}Q\neq P$ gilt.

4. Zeige, dass

   ${}{\mathcal {I}}_{P}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,P}={\mathbb {C} }\{\{Z\}\}\,$

   gleich dem von der Variablen ${}Z$ erzeugten Ideal im Ring der konvergenten Potenzreihen ist (vergleiche Fakt).

5. Es sei ${}X$ nun kompakt und zusammenhängend. Bestimme ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$.

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