Es sei
eine
riemannsche Fläche
und
ein Punkt. Wir definieren zu einer offenen Menge
-
![{\displaystyle {}{\mathcal {I}}(U):={\left\{f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\mid f(P)=0,{\text{ falls }}P\in U\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3779a52bfbee06e474ecd7ce1bf17c7642e17832)
- Zeige, dass
eine
Untergarbe
von
kommutativen Gruppen
der Strukturgarbe der
holomorphen Funktionen
auf
ist.
- Zeige, dass zu
und
auch
ist.
- Zeige, dass für die
Halme
-
![{\displaystyle {}{\mathcal {I}}_{Q}={\mathcal {O}}_{X,Q}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b7e9128cb9653c0f6b72d53fdb00cd47826c5d)
für alle Punkte
gilt.
- Zeige, dass
-
![{\displaystyle {}{\mathcal {I}}_{P}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,P}={\mathbb {C} }\{\{Z\}\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85c29ae2d2305f9df2cab6c354d3022d4aa495b)
gleich dem von der Variablen
erzeugten Ideal im Ring der konvergenten Potenzreihen ist (vergleiche Fakt).
- Es sei
nun
kompakt
und
zusammenhängend.
Bestimme
.